Численное решение задачи теплопроводности при формообразовании отливки с исключением трения - page 3

уравнений Навье–Стокса в приближении “узкого канала ” [5, 6]
∂
∂
(ρur ) +
∂
∂r
( ρvr ) = 0, (2)
ρu
∂u
∂x
+ ρv
∂u
∂r
= −
dpg
dx
+
1
r
∂
∂r
rµ
∂u
∂r
, (3)
ρucp
∂T
∂x
+ ρvcp
∂T
∂r
= u
dpg
dx
+
1
r
∂
∂r
rλ
∂T
∂r
; (4)
здесь ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении; µ и λ —
коэффициенты вязкости и теплопроводности газа; u и v — компоненты
вектора скорости в продольном и радиальном направлениях; рg ( х ) —
давление газа в зазоре.
Предполагается, что в пористой стенке газ движется в радиаль-
ном направлении со среднемассовой скоростью, определяемой законом
Дарси [8, 10]
v = −
γ
µ
∂pw
∂r
,
где γ — проницаемость среды , рw (х , r ) — давление газа в пористой
среде. Для описания процесса переноса теплоты в пористой стенке ис -
пользуется одномерная модель в предположении, что температуры газа
и пористого каркаса равны между собой [2, 3, 8]:
ρvc p
∂T
∂r
=
1
r
∂
∂r
rλw
∂T
∂r
; (5)
здесь λw — коэффициент теплопроводности пористого каркаса.
Для замыкания задачи используется условие прилипания на грани -
цах щелевого зазора (u = 0), а также условия непрерывности темпе -
ратуры, давления, потоков массы и теплоты. В балансе тепловых по-
токов на границе зазора, наряду с теплопроводностью и конвекцией,
учитывается перенос теплоты излучением. Тепловой поток q на грани -
це металл–газ определяется по закону Ньютона:
q = α (Tf − Tw ),
где α — коэффициент теплоотдачи; Тf , Тw — температуры соответ -
ственно жидкой фазы и проницаемой стенки.
В области расплавленного металла формирующейся заготовки да -
вление газа определяется из условия равенства давлений в зазоре и гра-
ничащем с ним столбе жидкого металла [3–5]. После образования кор-
ки давление в зазоре возрастает в направлении к низу кристаллизатора
до некоторого максимального значения p∗
g , а затем быстро уменьшается
80 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 1