тов температуры на оси слитка
:
∂T
∂x
¯ ¯ ¯ ¯
x
=0
= 0;
(8)
здесь
х
—
координатная ось
,
являющаяся осью геометрической симме
-
трии слитка и совпадающая с осью вытягивания
.
Начальным условием
является условие
T
m
(0
, r
) =
T
л
,
где
T
л
—
температура литья при входе
в кристаллизатор
.
Для интегральной формулировки этой задачи используем следую
-
щие условия
:
Z
V
µ
c
p
ρu
m
∂T
m
∂x
−
1
r
∂
∂r
rλ
m
∂T
m
∂r
¶
v
L
dξ
+
+
Z
S
1
µ
λ
m
∂T
m
∂n
+
α
(
T
m
¯ ¯ ¯
Π
−
T
г
)
¶
v
L
ds
+
Z
S
2
∂T
m
∂r
v
L
ds
= 0
(9)
—
условия ортогональности проекции невязки
,
возникающей при под
-
становке в уравнение
(1)
искомого приближенного решения
,
на элемен
-
ты
v
L
,
L
= 1
, N
Σ
,
базиса
N
Σ
-
мерного подпространства
H
N
Σ
гильберто
-
ва пространства
H
непрерывных в
V
функций
,
имеющих в
V
кусочно
непрерывные производные
[11].
Здесь
S
1
и
S
2
—
проекции области ин
-
тегрирования
V
на соответствующую координатную плоскость
.
Преобразовывая последнее равенство при помощи первой формулы
Грина
,
получаем
Z
V
µ
λ
m
∂T
m
∂r
∂v
L
∂r
+
c
p
ρu
m
∂T
m
∂x
v
L
¶
dξ
+
+
Z
S
1
α
³
T
m
¯ ¯ ¯
Π
−
T
г
´
v
L
ds
= 0
, L
= 1
, N
Σ
.
(10)
Приближенное решение рассматриваемой задачи найдем в виде
˜
T
N
Σ
(
x, r
) =
N
Σ
X
N
=1
T
N
(
x
)
ϕ
N
(
r
) =
ϕ
(
r
)
{
T
(
x
)
}
,
(11)
где
T
N
(
x
)
—
значения температуры в узлах сетки КЭ
.
В качестве бази
-
са подпространства
H
N
Σ
примем систему
{
ϕ
N
(
r
)
}
N
Σ
,
т
.
е
.
базисные и
проекционные функции возьмем одинаковые
,
что характерно для про
-
цедуры метода Бубнова
–
Галеркина
[11].
Подставляя выражение
(11)
в
равенство
(10)
вместо
Т
m
,
приходим к системе уравнений
82
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
