до атмосферного давления на выходе из зазора
.
Величина
p
∗
g
зависит в
основном от давления в жидком металле на границе твердой и жидкой
фаз
[2].
Численное интегрирование уравнений
(1)–(5)
проводится методом
конечных элементов
[11].
Для зоны отливки решается нестационарная
задача теплопроводности
.
На каждой итерации по полученному рас
-
пределению скоростей в зазоре находится распределение температуры
в металле
,
положение поверхности фазового перехода
,
а также распре
-
деление температуры в зазоре и пористой стенке
[8, 10].
Метод конечных элементов
(
КЭ
)
основан на аппроксимации непре
-
рывной функции
(
в данном случае
—
температуры и компонент скоро
-
сти газа
)
дискретной моделью
,
которая строится на множестве кусоч
-
но непрерывных функций
,
определенных на конечном числе подобла
-
стей
,
называемых элементами
.
В качестве функции элемента чаще все
-
го применяют полином
.
Порядок полинома зависит от используемых в
каждом узле элемента данных о непрерывной функции
.
Предположим
,
что сетка КЭ состоит из
Е
лагранжевых конечных
элементов
,
каждый из которых имеет
N
e
узлов и занимает область
V
e
⊂
V
,
e
= 1
, E
.
Необходимо установить взаимно однозначное
соответствие между номерами
N
= 1
, N
Σ
узлов сетки и номерами
n
= 1
, N
e
узлов каждого отдельного конечного элемента
,
имеющего
номер
e
= 1
, E
.
Итогом установления указанного соответствия между
глобальной нумерацией узлов сетки и локальной нумерацией узлов
конечного элемента является построение для каждого элемента с но
-
мером
е
матрицы
Ω
e
размера
N
e
×
N
Σ
,
элементы которой имеют вид
Ω
e
nN
= 1
,
если узел
N
сетки совпадает с узлом
n
конечного элемента
,
и
Ω
e
nN
= 0
—
в противном случае
.
Теперь рассмотрим задачу о затвердевании слитка
ρ
m
u
m
c
p
∂T
m
∂x
=
1
r
∂
∂r
rλ
m
∂T
m
∂r
(6)
с граничными условиями
III
рода
,
задающими интенсивность теплоот
-
дачи на поверхности слитка в соответствии с законом Ньютона
:
λ
m
∂T
m
∂n
¯ ¯ ¯ ¯
Π
+
α
(
T
m
¯ ¯
Π
−
T
г
) = 0
,
(7)
где
n
—
внешняя нормаль к поверхности
Π
слитка
,
T
г
—
температура
газа
.
В случае осесимметричного температурного поля в краевые усло
-
вия входит условие симметрии
,
означающее равенство нулю градиен
-
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
81
