Матрица функций формы
[Φ]
размерностью
5
×
30
в блочном виде
представляется следующим образом
:
[Φ] = [Φ
(1)
,
Φ
(2)
, . . . ,
Φ
(6)
]
,
(19)
где
Φ
(
i
)
=
ζ
i
[
E
]
;
Е
—
единичная матрица размерностью
5
×
5
;
ζ
i
,
i
= 1
,
2
, . . . ,
6
, —
квадратичные функции формы
,
для представления
которых воспользуемся естественными безразмерными
(
барицентрич
-
ными
)
координатами
:
ζ
1
=
L
1
(2
L
1
−
1)
, ζ
2
=
L
2
(2
L
2
−
1)
, ζ
3
=
L
3
(2
L
3
−
1)
,
ζ
4
= 4
L
1
L
2
, ζ
5
= 4
L
2
L
3
, ζ
6
= 4
L
3
L
1
.
(20)
Нумерация функций формы соответствует нумерации узлов эле
-
мента
.
Естественные координаты
L
i
определяются через координаты
q
1
, q
2
оболочки следующим образом
:
L
i
=
1
2
S
¡
a
(
i
)
+
b
(
i
)
q
1
+
c
(
i
)
q
2
¢
, i
= 1
,
2
,
3;
(21)
здесь
a
(1)
=
q
1(2)
q
2(3)
−
q
1(3)
q
2(2)
, b
(1)
=
q
2(2)
−
q
2(3)
,
c
(1)
=
q
1(3)
−
q
1(2)
,
2
S
=
b
(1)
c
(2)
−
b
(2)
c
(1)
;
(22)
q
1(
i
)
, q
2(
i
)
, i
= 1
,
2
,
3
, —
координаты узлов треугольного конечного
элемента
,
выражения для остальных коэффициентов
a
(
I
)
,
b
(
I
)
,
c
(
I
)
полу
-
чаются при круговой перестановке индексов
,
заключенных в круглые
скобки
.
Матрица функций формы
[
ω
]
имеет блочную диагональную струк
-
туру
:
[
ω
] =
L
1
0 0
L
2
0 0
L
3
0 0
0
L
1
0 0
L
2
0 0
L
3
0
0 0
L
1
0 0
L
2
0 0
L
3
.
(23)
Матрица
[
В
]
имеет размерность
8
×
30
,
и с учетом блочной струк
-
туры матрицы функций форм
[Φ]
ее можно представить в виде
[
B
] =
= [
B
(1)
, B
(2)
, . . . , B
(6)
]
,
где матричные блоки
B
(
i
)
,
i
= 1
,
2
, . . . ,
6
,
раз
-
мерностью
8
×
5
определяются соотношением
B
(
i
)
= [
L
]Φ
(
i
)
.
Подста
-
вляя выражение
(13)
в это соотношение
,
получаем
B
(
i
)
=
Z
xi
0 0 0 0
0
Z
yi
0 0 0
Z
yi
Z
xi
0 0 0
0 0 0
Z
xi
0
0 0 0 0
Z
yi
0 0 0
Z
yi
Z
xi
0 0
Z
xi
ζ
i
0
0 0
Z
yi
0
ζ
i
;
(24)
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
109
