Введение.
В работе [1] была поставлена математическая задача
оптимального управления инвестициями в закрытой динамической
модели трехсекторной экономики. Эта задача была сформулирована
в виде классической задачи оптимального управления на заданном
конечном интервале времени с закрепленным левым концом траек-
тории. Теоретическую основу исследования составил принцип мак-
симума Понтрягина. Общая теория оптимального управления, соста-
вляющая содержание принципа максимума, изложена в работах [2–5],
а вопросы, связанные с применением принципа максимума в зада-
чах управления экономическими системами, — в работах [6–9]. Бы-
ло проанализировано основное условие, входящее в принцип макси-
мума, — условие максимума функции Понтрягина. Установлено, что
функции
u
1
(
t
)
, задающие оптимальное управление, имеют аналити-
ческое устройство, определяемое соотношением (9), приведенным в
работе [1], и зависят от знака некоторой вспомогательной функции
Q
(
t
) =
Q
(
p
0
(
t
)
, p
1
(
t
)
, p
2
(
t
))
, называемой функцией переключений, ко-
торая в свою очередь аналитически выражается через сопряженные
переменные
p
0
(
t
)
, p
1
(
t
)
, p
2
(
t
)
.
Основная особенность дальнейшего исследования рассматрива-
емой задачи оптимального управления заключается в том, что со-
пряженные переменные, а следовательно, и функция переключений
Q
(
t
)
, зависят от функции управления
u
1
(
t
)
. Таким образом, возникает
весьма сложная система взаимосвязанных соотношений, состоящая из
уравнений дифференциальной связи ((4) см. [1]), сопряженных урав-
нений ((6) см. [1]) и условий трансверсальности ((7) см. [1]). В на-
стоящей работе эта система будет аналитически исследована при сле-
дующих дополнительных предположениях: функция переключений
меняет знак в конечном числе изолированных точек и не существует
интервалов положительной длины, на которых эта функция тожде-
ственно равна нулю. С позиции характера управления это означает,
что функция, задающая оптимальное управление, кусочно-постоянна,
принимает только два возможных значения (0 или 1), а переключения
управления, т.е. изменения этих значений, происходят конечное чи-
сло раз на заданном интервале времени
[0
, T
]
. Отметим, что именно
такие управления являются оптимальными в некоторых классических
задачах теории управления [3, 4, 6, 8–10]. В результате проведенного
исследования будет разработана численно-аналитическая процеду-
ра определения функций состояний
k
0
(
t
)
, k
1
(
t
)
, k
2
(
t
)
и управления
u
1
(
t
)
, удовлетворяющих необходимым условиям экстремума в форме
принципа максимума.
Сделаем некоторое предварительное замечание об особенностях
проводимого аналитического исследования.
102
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
