Обозначим через
τ
1
, τ
2
, . . . , τ
r
,
0
< τ
1
<
∙ ∙ ∙
< τ
r
< T
,
1
≤
r <
∞
,
точки переключения управления на интервале
[0
, T
]
. Тогда можно за-
фиксировать значение функции управления на каждом интервале меж-
ду соседними точками переключения, а значения в точках переключе-
ния дополнить из условия непрерывности справа. Таким образом, на
каждом интервале между соседними точками переключения будут пол-
ностью заданы правые части уравнений дифференциальной связи.
В моменты переключения управления изменяется вид уравнений
дифференциальной связи. Функции
k
0
(
t
)
,
k
1
(
t
)
,
k
2
(
t
)
будут задавать-
ся различными аналитическими выражениями на разных интервалах
времени между соседними точками переключения, но сохранят не-
прерывность во всех точках
t
2
[0
, T
]
, включая точки переключе-
ния. Аналогичными особенностями обладают и функции
p
0
(
t
)
,
p
1
(
t
)
,
p
2
(
t
)
. Такие особенности функций, играющих роль основных и со-
пряженных переменных, будут использованы далее для нахождения
их аналитических представлений. Именно, уравнения дифференци-
альной связи можно решать последовательно на интервалах време-
ни
[0
, τ
1
]
,
[
τ
1
, τ
2
]
, . . . ,
[
τ
r
, T
]
. При решении уравнений на интервале
[
τ
k
, τ
k
+1
]
в качестве граничного условия можно использовать най-
денные на предыдущем шаге значения функций состояний в точке
τ
k
,
k
= 0
,
1
, . . . , r
,
τ
0
= 0
. Аналогично можно решать и системы
сопряженных уравнений на указанных интервалах между точками
переключений. Такие действия будут выполняться последовательно
на интервалах
[
τ
r
, T
]
,
[
τ
r
−
1
, τ
r
]
, . . . ,
[0
, τ
1
]
. При решении уравнений на
интервале
[
τ
k
, τ
k
+1
]
в качестве граничного условия следует исполь-
зовать определенные на предыдущем шаге значения сопряженных
переменных в точке
τ
k
+1
,
k
=
r, r
−
1
, . . . ,
0
;
τ
r
+1
=
T
.
Теоретически функция управления может иметь произвольное ко-
нечное число скачков (переключений управления) на конечном интер-
вале времени. Однако в настоящей работе ограничимся рассмотрени-
ем следующих основных вариантов поведения функции управления:
двух вариантов без переключения и двух вариантов с одним пере-
ключением, которое происходит в некоторой фиксированной точке
τ
,
0
< τ < T
. Отметим, что вариант с произвольным конечным числом
переключений управления может быть аналитически исследован ана-
логично варианту с одним переключением. Перейдем непосредствен-
но к исследованию различных вариантов решений системы сопряжен-
ных уравнений.
Исследование сопряженных уравнений.
Сопряженное уравнение
относительно функции
p
1
(
t
)
, входящее в систему (6), приведенную в
работе [1], зависит явно от функции управления
u
1
(
t
)
. Кроме того,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
103
