в сопряженные уравнения входят функции
k
1
(
t
)
,
k
2
(
t
)
, выражающие
состояния системы, которые также зависят от функции управления.
Запишем полное решение системы сопряженных уравнений для
вариантов, когда функция управления не имеет переключений.
I. Пусть
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
>
0
при
t
2
[0
, T
]
. В соответствии с принци-
пом максимума (9) (см. [1])
u
1
= 1
,
t
2
[0
, T
]
. В таком варианте система
сопряженных уравнений (6), приведенная в работе [1], принимает вид
˙
p
0
(
t
) =
λ
0
p
0
(
t
);
˙
p
1
(
t
) =
h
λ
1
−
A
1
α
1
k
α
1
−
1
1
(
t
)
i
p
1
(
t
);
˙
p
2
(
t
) =
λ
2
p
2
(
t
)
−
B
2
e
−
δt
α
2
k
α
2
−
1
2
(
t
)
.
(1)
Запишем решение системы уравнений (1). Отметим, что в данном ва-
рианте управления функции
k
1
(
t
)
и
k
2
(
t
)
сохраняют единую форму.
Сопряженные функции задаются едиными аналитическими выраже-
ниями на всем временн´ом интервале
[0
, T
]
:
p
0
(
t
) =
ψ
(0)
0
(
T
)
e
λ
0
(
t
−
T
)
;
p
1
(
t
) =
ψ
(0)
1
(
T
)
e
A
1
α
1
R
T
t
k
α
1
−
1
1
(
z
2
)
dz
2
+
λ
1
(
t
−
T
)
;
p
2
(
t
) =
e
λ
2
t
e
−
λ
2
T
ψ
(0)
2
(
T
) +
B
2
T
Z
t
e
(
−
δ
−
λ
2
)
z
1
k
α
2
−
1
2
(
z
1
)
dz
1
.
(2)
II. Пусть
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
<
0
при
t
2
[0
, T
]
. В этом случае функция
управления не имеет переключений и задается равенством
u
1
(
t
) = 0
,
t
2
[0
, T
]
. Получим систему дифференциальных уравнения для сопря-
женных переменных
˙
p
0
(
t
) =
λ
0
p
0
(
t
);
˙
p
1
(
t
) =
λ
1
p
1
(
t
)
−
A
1
α
1
k
α
1
−
1
1
(
t
)
h
l
(1)
0
ρp
0
(
t
) +
l
(2)
0
(1
−
ρ
)
p
2
(
t
)
i
;
˙
p
2
(
t
) =
λ
2
p
2
(
t
)
−
B
2
e
−
δt
α
2
k
α
2
−
1
2
(
t
)
.
(3)
Следует отметить, что уравнения относительно переменных
p
0
и
p
2
из системы (3) совпадают с соответствующими уравнениями си-
стемы (1). Функция
k
2
(
t
)
, входящая в уравнение относительно пере-
менной
p
2
, имеет единое аналитическое представление на временном
интервале
[0
, T
]
, хотя определяется при другой функции управления
u
1
(
t
)
. Таким образом, аналитические формы решений уравнений от-
носительно переменных
p
0
и
p
2
, входящих в систему (3), совпадают
с аналитическими формами решений соответствующих уравнений си-
стемы (1). Получаем решение системы сопряженных уравнений для
второго варианта управления без переключений
u
1
(
t
) = 0
,
t
2
[0
, T
]
:
104
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
