0
≤
t
≤
τ
. По форме система сопряженных уравнений на интерва-
ле
[0
, τ
]
совпадает с системой (1). Граничные условия в точке
t
=
τ
определяются из свойства непрерывности сопряженных функций
p
(0)
k
(
τ
) =
p
k,τ
, k
= 0
,
1
,
2
.
Тогда сопряженные переменные на интервале
[0
, τ
]
находятся по фор-
мулам, аналогичным формулам (2) при указанных выше граничных
условиях:
p
(0)
0
(
t
) =
p
0
,τ
e
λ
0
(
t
−
τ
)
;
p
(0)
1
(
t
) =
p
1
,τ
e
A
1
α
1
R
τ
t
k
α
1
−
1
1
(
z
2
)
dz
2
+
λ
1
(
t
−
τ
)
;
p
(0)
2
(
t
) =
e
λ
2
t
h
p
2
,τ
e
−
λ
2
τ
+
B
2
τ
Z
t
e
(
−
δ
−
λ
2
)
z
1
k
α
2
−
1
2
(
z
1
)
dz
1
i
.
(8)
Объединяя соотношения (6) и (8), получаем явные аналитические
представления для сопряженных переменных на всем интервале вре-
мени
[0
, T
]
для варианта, когда функция управления имеет одну точку
переключения
τ
2
[0
, T
]
и задается формулой (5).
IV. Пусть функция управления имеет вид
u
1
(
t
) =
(
0 0
≤
t < τ
;
1
τ
≤
t
≤
T.
(9)
Как и для предыдущего варианта управления с одним переключени-
ем (5), найдем решения сопряженных уравнений. Рассмотрим снача-
ла интервал
[
τ, T
]
, поскольку на этом интервале функция управления
u
1
(
t
) = 1
, система сопряженных уравнений совпадает с системой (1).
Граничные условия в точке
t
=
T
представляют собой условия транс-
версальности. Такая задача Коши уже была решена ранее на всем
временном интервале
[0
, T
]
, это решение было представлено форму-
лами (2). Следовательно, решение системы сопряженных уравнений
для функции управления (9) на интервале
[
τ, T
]
также имеет вид (2)
при
τ
≤
t
≤
T
.
Запишем значения сопряженных переменных в точке
t
=
τ
, исходя
из формул (2):
p
0
(
τ
) =
p
(1)
0
(
τ
) =
ψ
(0)
0
(
T
)
e
λ
0
(
τ
−
T
)
= ˜
p
0
,τ
;
p
1
(
τ
) =
p
(1)
1
(
τ
) =
ψ
(0)
1
(
T
)
e
A
1
α
1
R
T
τ
k
α
1
−
1
1
(
z
2
)
dz
2
+
λ
1
(
τ
−
T
)
= ˜
p
1
,τ
;
p
2
(
τ
) =
p
(1)
2
(
τ
) =
e
λ
2
τ
e
−
λ
2
T
ψ
(0)
2
(
T
)+
+
B
2
Z
T
τ
e
(
−
δ
−
λ
2
)
z
1
k
α
2
−
1
2
(
z
1
)
dz
1
= ˜
p
2
,τ
.
(10)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
107
