Найдем решения сопряженных уравнений на интервале
[0
, τ
]
, где
функция управления
u
1
(
t
) = 0
, система сопряженных уравнений по
форме совпадает с системой (3). Граничные условия в точке
t
=
τ
задаются равенствами
p
k
(
τ
) =
p
(0)
k
(
τ
) = ˜
p
k,τ
, k
= 0
,
1
,
2
.
(11)
Решение системы сопряженных уравнений для функции управления
u
1
(
t
) = 0
на всем интервале
[0
, T
]
было представлено формулами (11).
Следовательно, решение этой системы для функции управления (9) на
интервале времени
[0
, τ
]
также имеет форму (4) с учетом изменения
граничных условий. Таким образом, можно записать полное предста-
вление для сопряженных переменных для варианта, когда функция
управления имеет вид (9):
p
(0)
0
(
t
) = ˜
p
0
,τ
e
λ
0
(
t
−
τ
)
;
p
(0)
1
(
t
) =
e
λ
1
t
h
˜
p
1
,τ
e
−
λ
1
τ
+
A
1
α
1
Z
τ
t
e
−
λ
1
z
3
k
α
1
−
1
1
(
z
3
) ˜
p
0
,τ
l
(1)
0
ρe
λ
0
(
z
3
−
τ
)
+
+
l
(2)
0
(1
−
ρ
)(˜
p
2
,τ
e
λ
2
(
z
3
−
τ
)
+
e
λ
2
z
3
B
2
Z
τ
z
3
e
(
−
δ
−
λ
2
)
z
4
k
α
2
−
1
2
(
z
4
)
dz
4
)
dz
3
i
;
p
(0)
2
(
t
) =
e
λ
2
t
˜
p
2
,τ
e
−
λ
2
τ
+
B
2
Z
τ
t
e
(
−
δ
−
λ
2
)
z
1
k
α
2
−
1
2
(
z
1
)
dz
1
, t
2
[0
, τ
];
(12)
p
(1)
0
(
t
) =
ψ
(0)
0
(
T
)
e
λ
0
(
t
−
T
)
;
p
(1)
1
(
t
) =
ψ
(0)
1
(
T
)
e
A
1
α
1
R
T
t
k
α
1
−
1
1
(
z
2
)
dz
2
+
λ
1
(
t
−
T
)
;
p
(1)
2
(
t
) =
e
λ
2
t
ψ
(0)
2
(
T
)
e
−
λ
2
T
+
B
2
Z
T
t
e
(
−
δ
−
λ
2
)
z
1
k
α
2
−
1
2
(
z
1
)
dz
1
, t
2
[
τ, T
]
.
(13)
Итак, завершен первый этап исследования сопряженных уравне-
ний. Соотношения (2) и (4) определяют решение этих уравнений, ко-
гда функция управления не имеет переключений, а соотношения (6),
(8) и (12), (13) — когда у функции управления есть одна точка пере-
ключения
τ
,
0
< τ < T
. Во всех вариантах сопряженные переменные
выражаются через функции состояний системы
k
1
(
t
)
,
k
2
(
t
)
, которые
пока неизвестны. В следующем параграфе будут найдены решения си-
стемы уравнений дифференциальной связи для различных вариантов
функции управления.
Получение представлений для функций удельного капитала
при различных режимах управления.
Исследуем систему уравне-
ний дифференциальной связи (4) (см. [1]). В соответствии с приня-
108
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
