Отметим, что по форме система (24) совпадает с системой (20),
поскольку функция управления
u
1
(
t
)
у них одна и та же. При этом
система (24) рассматривается на другом временном интервале и с дру-
гими начальными условиями. Метод решения системы (24) остается
прежним: сначала решается линейное однородное уравнение первого
порядка относительно функции
k
(1)
1
(
t
)
, а затем полученное решение
подставляется в уравнения относительно функций
k
(1)
0
(
t
)
, k
(1)
2
(
t
)
. В ре-
зультате образуются два неоднородных дифференциальных уравнения
первого порядка с заданными правыми частями, которые решаются
стандартным способом [11, 12]. Запишем полученное решение в фор-
ме системы и объединим с решением (23). В результате явное анали-
тическое представление для функций состояний исследуемой системы
(функции удельного капитала) на всем интервале
[0
, T
]
для варианта,
когда функция управления задается формулой (5), имеет вид
k
(0)
0
(
t
) =
k
0
,
0
e
−
λ
0
t
;
k
(0)
1
(
t
) =
e
−
λ
1
(1
−
α
1
)
t
k
1
−
α
1
1
,
0
−
A
1
λ
1
+
A
1
λ
1
1
1
−
α
1
;
k
(0)
2
(
t
) =
k
2
,
0
e
−
λ
2
t
,
0
≤
t
≤
τ
;
k
(1)
0
(
t
) =
e
−
λ
0
t
k
0
,τ
e
λ
0
τ
+
l
(1)
0
ρA
1
k
α
1
1
,τ
e
λ
1
τ
λ
0
−
λ
1
α
1
e
(
λ
0
−
λ
1
α
1
)
t
−
e
(
λ
0
−
λ
1
α
1
)
τ
;
k
(1)
1
(
t
) =
k
1
,τ
e
−
λ
1
(
t
−
τ
)
;
k
(1)
2
(
t
) =
e
−
λ
2
t
k
2
,τ
e
λ
2
τ
+
l
(1)
2
(1
−
ρ
)
A
1
k
α
1
1
,τ
e
λ
1
τ
λ
0
−
λ
1
α
1
e
(
λ
2
−
λ
1
α
1
)
t
−
e
(
λ
2
−
λ
1
α
1
)
τ
,
τ
≤
t
≤
T,
(26)
где
k
0
,τ
,
k
1
,τ
,
k
2
,τ
— величины, заданные соотношениями (25).
IV. Пусть функция переключений
Q
(
p
0
(
t
)
, p
1
(
t
)
, p
2
(
t
))
удовлетво-
ряет условию (17). С учетом структуры оптимального управления ((9)
см. [1]), функция управления
u
1
(
t
)
на интервале
0
≤
t
≤
T
задается
формулой (9).
Решение системы уравнений дифференциальной связи для рас-
сматриваемого варианта с переключением управления аналогично ре-
шению этой системы для предыдущего варианта с переключением.
Опуская технические подробности такого решения, приведем ито-
говый результат. Запишем явные аналитические представления для
функций удельного капитала
k
0
(
t
)
,
k
1
(
t
)
,
k
2
(
t
)
при указанной функции
112
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
