p
0
(
t
) =
ψ
(0)
0
(
T
)
e
λ
0
(
t
−
T
)
;
p
1
(
t
)=
e
λ
1
t
h
ψ
(1)
0
(
T
)
e
−
λ
1
T
+
A
1
α
1
T
Z
t
e
−
λ
1
z
3
k
α
1
−
1
1
(
z
3
)
h
l
(1)
0
ρψ
(0)
0
(
T
)
e
λ
0
(
z
3
−
T
)
+
+
l
(2)
0
(1
−
ρ
)
e
λ
2
(
z
3
−
T
)
ψ
(0)
2
(
T
)+
e
λ
2
z
3
B
2
T
Z
z
3
e
(
−
δ
−
λ
2
)
z
4
k
α
2
−
1
2
(
z
4
)
dz
4
i
dz
3
i
;
p
2
(
t
) =
e
λ
2
t
e
−
λ
2
T
ψ
(0)
2
(
T
) +
B
2
T
Z
t
e
(
−
δ
−
λ
2
)
z
1
k
α
2
−
1
2
(
z
1
)
dz
1
.
(4)
Рассмотрим варианты, когда функция управления имеет одну точ-
ку переключения
τ
,
0
< τ < T
. В этом случае каждая функция
p
k
(
t
)
,
k
= 0
,
1
,
2
, принимает различные аналитические формы на интер-
валах
[0
, τ
]
и
[
τ, T
]
(обусловлено разными формами функции упра-
вления на указанных интервалах). Введем дополнительные обозна-
чения для функций, задающих каждую сопряженную переменную
p
k
(
t
)
, k
= 0
,
1
,
2
, на приведенных интервалах:
p
k
(
t
) =
p
(0)
k
(
t
)
,
0
≤
t
≤
τ
;
p
(1)
k
(
t
)
, τ
≤
t
≤
T,
k
= 0
,
1
,
2
.
Можно предложить следующий метод аналитического определе-
ния функций
p
(0)
k
(
t
)
, p
(1)
k
(
t
)
, k
= 0
,
1
,
2
.
1. Рассмотрим систему сопряженных уравнений (6) (см. [1]) на
временн´ом интервале
[
τ, T
]
при заданной функции управления
u
1
(
t
)
.
Добавим к этой системе условия трансверсальности (7) (см. [1]),
которые представляют собой заданные граничные условия в точке
t
=
T
. Решение полученной задачи Коши образует набор функций
p
(1)
k
(
t
)
, k
= 0
,
1
,
2;
t
2
[
τ, T
]
.
2. Рассмотрим систему сопряженных уравнений (6) (см. [1]) на вре-
менн´ом интервале
[0
, τ
]
при другой форме функции управления
u
1
(
t
)
,
соответствующей этому интервалу. Чтобы задать граничные условия к
данной системе, воспользуемся свойством непрерывности сопряжен-
ных переменных в точке переключения управления, в соответствии
которым должны выполняться условия
p
(0)
k
(
τ
) =
p
(1)
k
(
τ
)
, k
= 0
,
1
,
2
.
Значения функций
p
(1)
k
(
τ
)
, k
= 0
,
1
,
2
, были определены на предыду-
щем этапе. Решение полученной задачи Коши образует набор функ-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
105
