Аналитическое исследование задачи оптимального управления инвестициями в закрытой динамической модели трехсекторной экономики - page 6

ций p(0)
k (t ), t 2 [0, τ ], k = 0 , 1, 2. Таким образом, найдем представления
для сопряженных переменных p0 (t ), p1 ( t), p 2( t) при любых значениях
t 2 [0, T ].
Перейдем к реализации изложенного метода. Получим явные пред-
ставления для сопряженных переменных для двух вариантов, когда
функция управления имеет одну точку переключения.
III. Пусть функция управления задается формулой
u1 (t ) =  1 0 ≤ t < τ ;
0 τ ≤ t ≤ T.
(5)
Рассмотрим сначала интервал времени [τ, T ]. Если функция упра-
вления имеет вид (5), то на этом интервале u1( t) = 0, t 2 [ τ, T ]. Тогда
система сопряженных уравнений совпадает по форме с системой (3)
при тех же граничных условиях в точке t = T , которые являются усло-
виями трансверсальности. Таким образом, сопряженные переменные
на указанном интервале задаются формулами (4). При t 2 [τ, T ]
p(1)
0 ( t) = ψ(0)
0 (T )e λ0(t−T ) ;
p1 (t )=e λ1thψ(1)
0 ( T ) e−λ1T +A1 α 1Z T
t
e−λ1z3 kα 1−1
1 ( z3 )hl(1)
0 ρψ(0)
0 ( T ) eλ0 (z3−T )+
+ l(2)
0 (1−ρ) eλ2 (z3−T )ψ(0)
2 (T )+eλ2z3 B2Z T
z3
e( −δ−λ2)z4 kα 2−1
2 ( z4 ) dz4 i dz3 i;
p(1)
2 ( t) = e λ2t e −λ2 T ψ(0)
2 (T ) + B2 Z T
t
e(−δ−λ2)z1 kα 2−1
2 ( z1 ) dz1 . (6)
Используя (6), зафиксируем значения функций pk ( t) в точке t = τ
p0 (τ ) = p(1)
0 ( τ ) = ψ(0)
0 ( T ) eλ0(τ −T ) = p0,τ ;
p1 (τ ) = p(1)
1 ( τ ) =
= eλ1 τ hψ(1)
0 (T )e −λ1T + A1 α1 Z T
τ
e−λ1z3k α1−1
1 (z 3 ) l(1)
0 ρψ(0)
0 (T )e λ0(z3−T ) +
+ l(2)
0 (1 − ρ)(eλ2( z3−T )ψ(0)
2 (T )+
+ eλ2z3 B2 Z T
z3
e( −δ−λ2)z4 kα 2−1
2 ( z4 ) dz4 ) dz3 i= p1,τ ;
p2 (τ )=p(1)
2 (τ )=e λ2τ e−λ2T ψ(0)
2 ( T )+B2Z T
τ
e( −δ−λ2)z1 kα 2−1
2 ( z1 ) dz1 = p2 ,τ .
(7)
Теперь найдем решение сопряженных дифференциальных уравне-
ний на интервале времени [0, τ ] при функции управления u1 (t) = 1,
106 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4