тыми ранее предположениями рассмотрим четыре основных варианта
поведения функции переключений
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
на интервале
[0
, T
]
:
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
>
0
при
t
2
[0
, T
];
(14)
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
<
0
при
t
2
[0
, T
];
(15)
существует точка
τ
2
[0
, T
]
такая, что
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
>
0
при
0
≤
t < τ
;
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
<
0
при
τ < t
≤
T.
(16)
существует точка
τ
2
[0
, T
]
такая, что
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
<
0
при
0
≤
t < τ
;
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
>
0
при
τ < t
≤
T.
(17)
Для каждого указанного варианта известно выражение для опти-
мального управления, определяемое соотношением (9), приведенным
в работе [1]. С учетом этого соотношения представим решения уравне-
ний дифференциальной связи относительно величин
k
0
(
t
)
,
k
1
(
t
)
,
k
2
(
t
)
на заданном временном интервале
[0
, T
]
.
I. Пусть функция переключений удовлетворяет условию (14) при
всех
t
2
[0
, T
]
. Тогда функция управления
u
1
(
t
) = 1
на всем временном
интервале
[0
, T
]
, при этом система дифференциальных уравнений ((4)
см. [1]) (дифференциальная связь) принимает вид
˙
k
0
(
t
) =
−
λ
0
k
0
(
t
)
,
˙
k
1
(
t
) =
−
λ
1
k
1
(
t
) +
A
1
k
α
1
1
(
t
)
,
˙
k
2
(
t
) =
−
λ
2
k
2
(
t
)
.
(18)
Уравнения относительно величин
k
0
(
t
)
и
k
2
(
t
)
системы (18) являются
линейными однородными уравнениями первого порядка, а уравнение
относительно функции
k
1
(
t
)
представляет собой уравнение Бернулли.
Методы решения таких уравнений известны в классической теории
дифференциальных уравнений. Используя эти результаты [11, 12], по-
лучаем решение системы уравнений (18) в явном виде
k
0
(
t
) =
k
0
,
0
e
−
λ
0
t
;
k
1
(
t
) =
e
−
λ
1
(1
−
α
1
)
t
k
1
−
α
1
1
,
0
−
A
1
λ
1
+
A
1
λ
1
1
1
−
α
1
;
k
2
(
t
) =
k
2
,
0
e
−
λ
2
t
, t
2
[0
, T
]
.
(19)
II. Пусть функция переключений удовлетворяет условию (15)
при всех
t
2
[0
, T
]
. Тогда функция управления задается равенством
u
1
(
t
) = 0
, а система дифференциальных уравнений ((4) см. [1]) (диф-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
109
