дифференциальное уравнение линейного осциллятора без потерь с
переменной частотой. Применялись различные методы приближенно-
го решения: метод Ван-дер-Поля [4]; метод сведения к нелинейному
уравнению первого порядка (уравнению Риккати) [5]; метод Вентце-
ля – Крамерса – Бриллюэна (метод ВКБ) [6]; метод многих масштабов
[7]. Таким образом, приближенное решение задачи о линейном осцил-
ляторе с плавно изменяющейся частотой можно считать известным.
В то же время представляет интерес и другой, энергетический, подход
к указанной задаче, который в литературе не отражен. Это объясняет-
ся тем, что полная энергия чисто реактивной цепи в указанных усло-
виях не сохраняется. Однако цепь остается гамильтоновой системой
(очевидно, что справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазово-
го объема). Поэтому в качестве математической модели цепи можно
попытаться, как и в случае консервативного контура с постоянными
параметрами, выбрать специального вида гамильтониан. С помощью
специальной производящей функции такой гамильтониан должен быть
преобразован к подходящим каноническим переменным. Эта функция
будет выбрана в настоящей работе. Новый гамильтониан допускает
усреднение, что и позволяет получить приближенное решение.
Работы, где рассматривались бы переходные процессы в высокодо-
бротной цепи с потерями и изменяющимся реактивным параметром,
неизвестны автору. Особенность такой задачи заключается в том, что
не только энергия, но и действие не являются адиабатическими ин-
вариантами. Следовательно, использовать гамильтонов подход невоз-
можно, чем объясняется необходимость выбора другого метода. Такие
методы могут быть основаны на преобразованиях независимой и зави-
симой переменных, сводящих модельные уравнения к асимптотически
приближенным уравнениям с постоянными коэффициентами [8]. По-
этому основное внимание будет уделено получению модельных урав-
нений в форме, когда эти преобразования можно применить.
Схемы.
Рассмотрим две цепи с одной степенью свободы: одно-
контурная чисто реактивная цепь с переменной емкостью (рис. 1,
а
);
двухузловая цепь с параллельным соединением емкостного с пере-
менной емкостью, индуктивного и резистивного элементов (рис. 1,
б
).
Цепи находятся под параметрическим воздействием двух базовых ти-
пов. Закон изменения емкости
C
−
1
(
t
)!
0
= 1 +
3
π
arcctg
t
−
t
0
T
назовем базовым плавным перепадом (рис. 2,
а
), закон изменения ем-
кости
C
−
1
(
t
)!
0
= 2 + cos 2arctg
t
−
t
0
T
84
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
