Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое

1 / 11

МАТЕМАТИКА
УДК 517.57
РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В МНОГОМЕРНОМ
БЕСКОНЕЧНОМ СЛОЕ
О.Д. Алгазин , А.В. Копаев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
e-mail: ;
Решена смешанная краевая задача нахождения гармонической функции n пере-
менных в области, ограниченной двумя параллельными гиперплоскостями, по ее
значениям на одной гиперплоскости и значениям ее нормальной производной на
другой гиперплоскости. Полученное решение представлено в виде суммы двух
интегралов, ядра которых выражены только через элементарные функции в
случае пространства четной размерности, а в случае пространства нечет-
ной размерности — еще и через функции Бесселя. Если заданные граничные
значения являются обобщенными функциями медленного роста, то решение
записывается в виде свертки ядер с этими функциями. На примере построе-
ния фильтрационного течения под точечной плотиной с водоупором показана
возможность практического применения полученных формул.
Ключевые слова: гармонические функции, преобразование Фурье, обобщенные
функции медленного роста, теория фильтрации.
SOLUTION OF THE MIXED BOUNDARY-VALUE PROBLEM
FOR LAPLACE EQUATION IN MULTIDIMENTIONAL
INFINITE LAYER
O.D. Algazin , A.V. Kopaev
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
e-mail: ;
For the domain confined by two parallel hyper-planes the authors have offered a
solution of the mixed boundary-value problem of finding a harmonic function of n
variables. This function was determined by its values on a one hyper-plane and
using values of the normal derived function for another hyper-plane. The obtained
solution is presented as a sum of two integrals whose kernels are expressed only in
term of elementary functions in the case of the even-dimension space. In contrast
for odd-dimension space they are expressed also through Bessel functions. If the
given boundary values are tempered distributions, then the solution is written as
a convolution of the kernels with these functions. The opportunity of practical
application of the obtained formulas is shown for the example with forming up
a filtration flow under spot dam with aquiclude.
Keywords: harmonic functions, Fourier transform, generalized functions of slow
growth, filtration theory.
Гармонические функции двух и трех переменных описывают мно-
гие стационарные процессы подземной гидродинамики, теплопровод-
ности и т.д. Поэтому поиск решений различных краевых задач для
уравнения Лапласа (и новых более простых форм решений) весьма
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1 3