2 / 11
актуален. Для плоских односвязных областей (например, полосы) ре-
шение этих задач конформными преобразованиями сводится к их ре-
шению для канонических областей — круга и полуплоскости. Если
число переменных больше двух, то такой возможности нет, и для ка-
ждой области приходится искать свои методы решения. Для полупро-
странства основным методом решения краевых задач для линейных
уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами
является преобразование Фурье по переменным в граничной гипер-
плоскости [1]. Ядра Пуассона и Неймана интегралов, решающих пер-
вую (задача Дирихле) и вторую (задача Неймана) краевые задачи для
уравнения Лапласа в полупространстве, хорошо известны [2, 3]. Для
полосы и бесконечного слоя в трехмерном пространстве ядра интегра-
лов, представляющих решения различных краевых задач для уравне-
ния Лапласа, можно получить методом отражений в виде сумм беско-
нечных рядов [4, 5]. Для бесконечного слоя в
n
-мерном пространстве
первая краевая задача решалась одним из авторов работы [6]. При
этом указанные ряды удалось просуммировать, выразив их суммы че-
рез элементарные функции. В настоящей работе решается смешанная
краевая задача Дирихле – Неймана для уравнения Лапласа в бесконеч-
ном слое
n
-мерного пространства. Для полосы и бесконечного слоя
в трехмерном пространстве решения этой задачи, полученные мето-
дом отражений, известны [5]. Здесь такая задача решается методом
преобразования Фурье. Было получено рекуррентное соотношение,
связывающее ядра интегралов для
n
-мерного и (
n
+ 2
)-мерного слоев,
а для
n
= 2
,
3
,
4
эти ядра выражены через элементарные функции (для
n
= 3
используются еще и функции Бесселя).
Обозначения. Постановка задачи.
Введем следующие обозначе-
ния:
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
R
n
,
(
x, y
) = (
x
1
, . . . , x
n
, y
)
∈
R
n
+1
, y
∈
R
;
|
x
|
=
q
x
2
1
+
. . .
+
x
2
n
,
h
x, t
i
=
x
1
t
1
+
∙ ∙ ∙
+
x
n
t
n
, dx
=
dx
1
∙ ∙ ∙
dx
n
;
Δ
u
(
x, y
) = Δ
u
=
u
x
1
x
1
+
. . .
+
u
x
n
x
n
+
u
yy
— оператор Лапласа;
F
(
t
) =
F
[
f
] (
t
) =
Z
R
n
f
(
x
)
e
i
h
x,t
i
dx
— преобразование Фурье суммируемой функции
f
(
x
)
.
Если сумми-
руемая по
x
функция
f
(
x, y
)
зависит от переменных
x
и
y
, то ее
преобразование Фурье по
x
обозначим как
F
x
[
f
] (
t, y
) =
Z
R
n
f
(
x, y
)
e
i
h
x,t
i
dx.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1