8 / 11
=
sin
πy
2
a
sh
π
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
2
a
!
2
πa
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
cos
πy
a
+ ch
π
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
a
!!
.
Если функции
ϕ
(
x
)
и
ψ
(
x
)
— обычные функции полиномиального
роста, то решение задачи записывается интегральной формулой
u
(
x, y
) =
sin
πy
2
a
4
a
2
Z
R
3
ϕ
(
t
)
2 + cos
πy
a
+ ch
π
|
x
−
t
|
a
sh
π
|
x
−
t
|
2
a
|
x
−
t
|
cos
πy
a
−
ch
π
|
x
−
t
|
a
2
dt
+
+
sin
πy
2
a
2
πa
Z
R
3
ψ
(
t
)
sh
π
|
x
−
t
|
2
a
|
x
−
t
|
cos
πy
a
+ ch
π
|
x
−
t
|
a
dt.
Применение в подземной гидродинамике.
В качестве примера
применения формулы для двух переменных рассмотрим решение за-
дачи теории фильтрации об описании течения под точечной плотиной
с водоупором. Фильтрация жидкости (воды) вызывается разностью
давлений на верхнем (
P
1
=
−
ϕ
1
)
и нижнем (
P
2
=
−
ϕ
2
)
бьефах (рису-
нок). Поле скоростей фильтрующейся жидкости описывается вектором
−→
v
=
k
−−−→
grad
u
, где коэффициент
k
характеризует проницаемость среды
(грунта) [10, 11]:
Δ
u
(
x, y
) = 0
,
−∞
< x <
∞
,
0
< y < a
;
u
(
x,
0) =
ϕ
1
, x <
0
, u
(
x,
0) =
ϕ
2
, x >
0;
u
y
(
x, a
) = 0
,
−∞
< x <
∞
.
Решением этой задачи будет функция
u
(
x, y
) =
ϕ
1
a
sin
πy
2
a
0
Z
−∞
ch (
π
(
x
−
t
)
/
2
a
)
ch (
π
(
x
−
t
)
/a
)
−
cos (
πy/a
)
dt
+
Схема фильтрационного тече-
ния под точечной плотиной с
водоупором
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1