7 / 11
u
(
x, y
) =
1
2
π
Z
R
2
ϕ
(
t
)
dt
∞
Z
0
ch(
ρ
(
a
−
y
))
ch(
aρ
)
ρJ
0
(
ρ
|
x
−
t
|
)
dρ
+
+
1
2
π
Z
R
2
ψ
(
t
)
dt
∞
Z
0
sh(
ρy
)
ch(
aρ
)
J
0
(
ρ
|
x
−
t
|
)
dρ.
И в этом случае известно решение рассматриваемой задачи с ядром в
виде бесконечного ряда [5]:
u
(
x, y
) =
Z
R
2
ϕ
(
t
)
∂
∂τ
G
(
x, y, t, τ
)
τ
=0
dt
+
Z
R
2
ψ
(
t
)
G
(
x, y, t, a
)
dt,
где
G
(
x, y, t, τ
) =
1
4
π
∞
X
n
=
−∞
1
r
n
1
−
1
r
n
2
;
r
n
1
=
q
|
x
−
t
|
2
+ [
y
−
(
−
1)
n
τ
−
2
na
]
2
;
r
n
2
=
q
|
x
−
t
|
2
+ [
y
+ (
−
1)
n
τ
−
2
na
]
2
.
Решение смешанной краевой задачи для бесконечного слоя
в четырехмерном пространстве.
Покажем, как применяется рекур-
рентное соотношение для решения смешанной краевой задачи для
пространства произвольной размерности на примере бесконечного
слоя в четырехмерном пространстве. Ядра находим по рекуррентным
формулам
K
3
(
x, y
) =
−
1
2
πr
∂
∂r
K
1
(
r, y
) =
−
1
2
πr
∂
∂r
1
a
sin
πy
2
a
ch
πr
2
a
ch
πr
a
−
cos
πy
a
=
=
2 + cos
πy
a
+ ch
πr
a
sin
πy
2
a
sh
πr
2
a
4
a
2
r
cos
πy
a
−
ch
πr
a
2
=
=
2 + cos
πy
a
+ ch
π
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
a
!!
sin
πy
2
a
sh
π
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
2
a
!
4
a
2
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
cos
πy
a
−
ch
π
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
a
!!
2
;
L
3
(
x, y
) =
−
1
2
πr
∂
∂r
L
1
(
r, y
) =
−
1
2
πr
∂
∂r
1
2
π
ln
ch
πr
2
a
+ sin
πy
2
a
ch
πr
2
a
−
sin
πy
2
a
=
=
sin
πy
2
a
sh
πr
2
a
2
πar
cos
πy
a
+ ch
πr
a
=
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1
9