4 / 11
L
n
(
x, y
) =
F
−
1
t
[
l
n
] (
x, y
)
, l
n
(
|
t
|
, y
) =
sh (
|
t
|
y
)
|
t
|
ch (
a
|
t
|
)
, t
∈
R
n
.
Поскольку
∂
∂y
l
n
(
|
t
|
, y
) =
k
n
(
|
t
|
, a
−
y
)
,
то
∂
∂y
L
n
(
x, y
) =
K
n
(
x, a
−
y
)
и
∂
∂y
L
n
(
x, y
)
при
y
→
a
−
0
ведет себя так же, как и
K
n
(
x, y
)
при
y
→
+0
.
Нетрудно заметить, что
k
n
(
|
t
|
, y
)
и
l
n
(
|
t
|
, y
)
— бесконечно диф-
ференцируемые и быстро убывающие функции
t
∈
R
n
, т.е. при-
надлежат пространству
S
(
R
n
)
[7]. Эти функции еще и сферически
симметричные, поэтому при вычислении обратного преобразования
Фурье можно перейти к сферическим координатам в пространстве
R
n
. Обозначим
|
x
|
=
r
,
|
t
|
=
ρ, σ
n
−
1
— площадь единичной сферы
в пространстве
R
n
.
Для любой сферически симметричной функции
h
n
(
|
t
|
) =
h
n
(
ρ
)
∈ S
(
R
n
)
имеем
H
n
(
|
x
|
) =
H
n
(
r
) =
F
−
1
t
[
h
n
] (
x
) =
1
(2
π
)
n
Z
R
n
h
n
(
|
t
|
)
e
−
i
h
x,t
i
dt
=
=
σ
n
−
1
(2
π
)
n
∞
Z
0
h
n
(
ρ
)
ρ
n
2
dρ
π
Z
0
e
−
irρ
cos
θ
sin
n
−
2
θdθ
=
=
1
(2
π
)
n
2
r
n
2
−
1
∞
Z
0
h
n
(
ρ
)
ρ
n
2
J
n
2
−
1
(
rρ
)
dρ,
где
J
n
2
−
1
(
rρ
)
— функция Бесселя первого рода порядка
ν
=
n/
2
−
1
[7, 8]. Приведенная формула справедлива и при
n
= 1
, что легко
проверить.
Дифференцируя предыдущее равенство по
r
и учитывая формулу
из теории функций Бесселя [4]
νJ
ν
(
rρ
)
rρ
−
J
0
ν
(
rρ
) =
J
ν
+1
(
rρ
)
,
получаем рекуррентную формулу
H
n
+2
(
r
) =
−
1
2
πr
∂
∂r
H
n
(
r
)
.
Для этой формулы необходимо знать ядра
K
n
(
x, y
)
и
L
n
(
x, y
)
только
для
n
= 1
и
n
= 2
.
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1