6 / 11
F
−
1
t
[
k
1
] (
x, y
) =
1
a
sin
πy
2
a
ch
πx
2
a
ch
πx
a
−
cos
πy
a
=
K
1
(
x, y
) ;
F
−
1
t
[
l
1
] (
x, y
) =
1
2
π
ln
ch
πx
2
a
+ sin
πy
2
a
ch
πx
2
a
−
sin
πy
2
a
=
L
1
(
x, y
)
.
Если функции
ϕ
(
x
)
и
ψ
(
x
)
— функции полиномиального роста, то
решение смешанной задачи записывается интегральной формулой
u
(
x, y
) =
1
a
sin
πy
2
a
∞
Z
−∞
ϕ
(
t
)
ch
π
(
x
−
t
)
2
a
ch
π
(
x
−
t
)
a
−
cos
πy
a
dt
+
+
1
2
π
∞
Z
−∞
ψ
(
t
)ln
ch
π
(
x
−
t
)
2
a
+ sin
πy
2
a
ch
π
(
x
−
t
)
2
a
−
sin
πy
2
a
dt .
Решение этой задачи известно, но с ядром в виде бесконечного
ряда [5]:
u
(
x, y
) =
∞
Z
−∞
ϕ
(
t
)
∂
∂τ
G
(
x, y, t, τ
)
τ
=0
dt
+
∞
Z
−∞
ψ
(
t
)
G
(
x, y, t, a
)
dt,
где
G
(
x, y, t, π
) =
=
1
a
∞
X
0
1
μ
n
exp (
−
μ
n
|
x
−
t
|
) sin(
μ
n
y
) sin(
μ
n
τ
)
, μ
n
=
π
(2
n
+ 1)
2
a
.
Решение смешанной краевой задачи для бесконечного слоя
в трехмерном пространстве.
Для трех переменных ядра не выра-
жаются через элементарные функции:
K
2
(
x, y
) =
1
2
π
∞
Z
0
ch(
ρ
(
a
−
y
))
ch(
aρ
)
ρJ
0
(
ρ
|
x
|
)
dρ
;
L
2
(
x, y
) =
1
2
π
∞
Z
0
sh(
ρy
)
ch(
aρ
)
J
0
(
ρ
|
x
|
)
dρ.
Если функции
ϕ
(
x
)
и
ψ
(
x
)
— функции полиномиального роста, то
решение смешанной задачи записывается интегральной формулой
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1