9 / 11
+
ϕ
2
a
sin
πy
2
a
∞
Z
0
ch (
π
(
x
−
t
)
/
2
a
)
ch (
π
(
x
−
t
)
/a
)
−
cos (
πy/a
)
dt
=
=
ϕ
2
−
ϕ
1
π
arctg
sh (
πx/
2
a
)
sin (
πy/
2
a
)
+
ϕ
1
+
ϕ
2
2
.
Сопряженная гармоническая функция имеет вид
v
(
x, y
) =
ϕ
1
−
ϕ
2
2
π
ln
ch (
πx/
2
a
) + cos (
πy/
2
a
)
ch (
πx/
2
a
)
−
cos (
πy/
2
a
)
,
уравнения линий тока
v
(
x, y
) = const
(см. рисунок).
Заключение.
Отметим, что полученные формулы для решения
смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в бесконечном слое
применимы и тогда, когда граничные значения являются обобщенны-
ми функциями медленного роста. В этом случае решение — обобщен-
ное, т.е.
u
(
x, y
)
и
u
y
(
x, y
)
при
y
→
+0
и, соответственно,
y
→
a
−
0
слабо сходятся в пространстве
S
0
(
R
n
)
к заданным граничным значе-
ниям. При двух переменных указанные формулы могут быть исполь-
зованы для решения плоских задач подземной гидродинамики (теории
фильтрации).
ЛИТЕРАТУРА
1.
Комеч А.И.
Линейные уравнения в частных производных с постоянными коэф-
фициентами // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математи-
ки: Фундаментальные направления. 1988. Т. 31. С. 127–261.
2.
Михлин С.Г.
Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. шк., 1977.
430 с.
3.
Бицадзе А.В.
Уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1976. 296 с.
4.
Тихонов А.Н.
,
Самарский А.А.
Уравнения математической физики. М.: Изд-во
МГУ, 1999. 798 с.
5.
Полянин А.Д.
Справочник по линейным уравнениям математической физики.
М.: Физматлит, 2001. 576 с.
6.
Касьянов Е.Ю.
,
Копаев А.В.
О решении задачи Дирихле для некоторых много-
мерных областей методом воспроизводящих ядер // Известия вузов. Математи-
ка. 1991. № 6. С. 17–20.
7.
Владимиров В.С.
Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука,
1979. 320 с.
8.
Бохнер С.
Лекции об интегралах Фурье. М.: Физматгиз, 1962. 360 с.
9.
Диткин В.А.
,
Прудников А.П.
Интегральные преобразования и операционное
исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.
10.
Радыгин В.М.
,
Голубева О.В.
Применение функций комплексного переменного
в задачах физики и техники. М.: Высш. шк.,1983. 160 с.
11.
Голубева О.В.
Курс механики сплошных сред. М.: Высш. шк., 1972. 367 с.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1
11