5 / 11
Поскольку преобразование Фурье переводит пространство
S
(
R
n
)
в себя, ядра
K
n
(
x, y
) =
K
∗
n
(
|
x
|
, y
)
и
L
n
(
x, y
) =
L
∗
n
(
|
x
|
, y
)
при
∀
y
∈
(0
, a
)
являются сферически симметричными функциями
x
из
пространства
S
(
R
n
)
. Поэтому свертка (1) существует для любых обоб-
щенных функций медленного роста
ϕ
(
x
)
∈ S
0
(
R
n
)
,
ψ
(
x
)
∈ S
0
(
R
n
)
и
записывается в виде
ϕ
(
x
)
∗
K
n
(
x, y
) +
ψ
(
x
)
∗
L
n
(
x, y
) =
= (
ϕ
(
t
)
, K
n
(
x
−
t, y
)) + (
ψ
(
t
)
, L
n
(
x
−
t, y
))
.
Когда
ϕ
(
x
)
и
ψ
(
x
)
— обычные функции полиномиального роста,
свертка (1) записывается в виде суммы интегралов
Z
R
n
ϕ
(
t
)
K
n
(
x
−
t, y
)
dt
+
Z
R
n
ψ
(
t
)
L
n
(
x
−
t, y
)
dt .
Легко проверить выполнимость следующих свойств в области
D
:
1)
K
n
(
x, y
)
>
0
;
2)
Z
R
n
K
n
(
x, y
)
dx
= 1
;
3) для
∀
δ >
0
,
lim
y
→
+0
sup
|
x
|≥
δ
K
n
(
x, y
) = 0
.
Эти свойства означают, что
K
n
(
x, y
)
является
аппроксимативной
единицей
, или
δ
-образной системой функций
x
(с параметром
y
), при
y
→
+0
,
K
n
(
x, y
)
слабо сходится к
δ
-функции
δ
(
x
)
. Поскольку
∂
∂y
L
n
(
x, y
) =
K
n
(
x, a
−
y
)
,
∂
∂y
L
n
(
x, y
)
является аппроксимативной единицей при
y
→
a
−
0
.
Поэтому, если
ϕ
(
x
)
∈ S
0
(
R
n
)
и
ψ
(
x
)
∈ S
0
(
R
n
)
, то формула
(1) дает обобщенное решение задачи:
lim
y
→
+0
u
(
x, y
) =
ϕ
(
x
)
в
S
0
;
lim
y
→
a
−
0
u
y
(
x, y
) =
ψ
(
x
)
в
S
0
.
Если функции
ϕ
(
x
)
и
ψ
(
x
)
— обычные функции полиномиального
роста, то в каждой точке непрерывности
lim
y
→
+0
u
(
x, y
) =
ϕ
(
x
) ; lim
y
→
a
−
0
u
y
(
x, y
) =
ψ
(
x
)
.
Решение смешанной краевой задачи для полосы на плоско-
сти.
В случае двух переменных с учетом четности функций по
t
(
k
1
(
|
t
|
, y
) =
k
1
(
t, y
)
,
l
1
(
|
t
|
, y
) =
l
1
(
t, y
))
, находим обратное преобра-
зование Фурье по таблицам [9]:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1
7