3 / 11
Аналогично определяется обратное преобразование Фурье суммируе-
мой функции
F
(
t
)
f
(
x
) =
F
−
1
[
F
] (
x
) =
1
(2
π
)
n
Z
R
n
F
(
t
)
e
−
i
h
x,t
i
dt
и суммируемой по
t
функции
F
(
t, y
)
F
−
1
t
[
F
] (
x, y
) =
1
(2
π
)
n
Z
R
n
F
(
t, y
)
e
−
i
h
x,t
i
dt.
Определение преобразования Фурье обобщенных функций медленно-
го роста приведено в работе [7].
Рассмотрим смешанную краевую задачу: найти функцию
n
+ 1
переменной
u
(
x, y
)
, гармоническую в области
D
=
{
(
x, y
) : 0
< y < a
} ⊂
R
n
+1
;
Δ
u
(
x, y
) = 0
, x
∈
R
n
,
0
< y < a ,
по краевым условиям
u
(
x,
0) =
ϕ
(
x
)
, x
∈
R
n
;
u
y
(
x, a
) =
ψ
(
x
)
, x
∈
R
n
.
Решение задачи для общего случая. Вывод рекуррентного со-
отношения.
Применим преобразование Фурье по
x
к уравнению Лап-
ласа, обозначив
U
(
t, y
) =
F
x
[
u
] (
t, y
) ; Φ (
t
) =
F
[
ϕ
] (
t
) ; Ψ (
t
) =
F
[
ψ
](
t
)
.
Получим краевую задачу для обыкновенного дифференциального
уравнения с параметром
t
∈
R
n
:
−|
t
|
2
U
(
t, y
) +
U
yy
(
t, y
) = 0;
U
(
t,
0) = Φ (
t
)
, U
y
(
t, a
) = Ψ (
t
)
.
Решением этой краевой задачи будет функция
U
(
t, y
) = Φ (
t
)
ch(
|
t
|
(
a
−
y
))
ch(
a
|
t
|
)
+ Ψ (
t
)
sh (
|
t
|
y
)
|
t
|
ch (
a
|
t
|
)
.
Применив обратное преобразование Фурье, найдем решение исходной
смешанной краевой задачи в виде свертки
u
(
x, y
) =
ϕ
(
x
)
∗
K
n
(
x, y
) +
ψ
(
x
)
∗
L
n
(
x, y
)
,
(1)
где ядра обозначены как
K
n
(
x, y
) =
F
−
1
t
[
k
n
] (
x, y
)
, k
n
(
|
t
|
, y
) =
ch (
|
t
|
(
a
−
y
))
ch(
a
|
t
|
)
, t
∈
R
n
;
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1
5