2 / 12
науки и техники [1]. Решения нелинейных уравнений связаны с боль-
шими трудностями, вызванными наличием подвижных особых точек
у интегралов этих уравнений, которые и являются препятствием к
использованию известных в настоящее время приближенных числен-
ных и аналитических методов решения [2, 3]. Отметим работы, на-
правленные на разрешение в квадратурах нелинейных дифференци-
альных уравнений с подвижными особыми точками, но это удается
сделать лишь в частных случаях [4].
Материалы и методы решения задачи и принятые допущения.
Применяется метод решения нелинейных дифференциальных уравне-
ний, предложенный в работах [1, 5], который состоит из шести этапов.
В статьях [6–9] были решены первые две задачи указанного выше ме-
тода для области аналитичности.
В настоящей работе предложено решение следующих задач: до-
казана теорема существования и единственности решения рассматри-
ваемого нелинейного дифференциального уравнения в окрестности
подвижной особой точки и построено приближенное решение в ука-
занной области. При доказательстве теоремы существования был при-
менен метод мажорант, но не к правой части дифференциального урав-
нения, как это сделано в классической литературе [10], а к решению
самого нелинейного дифференциального уравнения [1, 5, 11].
В статье использовано понятие “нормальная форма” для нели-
нейных дифференциальных уравнений, введенное в работе [1], ко-
гда общая структура уравнения с полиномиальной правой частью
y
(
κ
)
(
x
) =
a
0
(
x
)
y
n
(
x
) +
a
1
(
x
)
y
n
−
1
(
x
) +
. . .
+
a
n
−
1
(
x
)
y
(
x
) +
a
n
(
x
)
с помощью некоторой замены приводится к виду
y
(
κ
)
(
x
) =
y
n
(
x
) +
+
r
(
x
)
, где
κ
— порядок производной;
n
— степень функции. Эта
терминология является продолжением для упрощенной структуры не-
линейного дифференциального уравнения, упомянутой для уравнения
Абеля в работе [12].
Результаты.
Рассматривается нелинейное дифференциальное урав-
нение второго порядка
y
00
(
x
) =
a
0
(
x
)
y
5
(
x
) +
a
1
(
x
)
y
4
(
x
) +
a
2
(
x
)
y
3
(
x
) +
+
a
3
(
x
)
y
2
(
x
) +
a
4
(
x
)
y
(
x
) +
a
5
(
x
)
,
(1)
где
a
i
,
i
= 0
,
1
, . . . ,
5
— аналитические функции в рассматриваемой
области. Заменой переменной
y
(
x
) =
u
(
x
)
4
p
a
0
(
x
)
−
a
1
(
x
)
5
a
0
(
x
)
при выпол-
нении условий
a
1
(
x
)
5
a
0
(
x
)
=
a
2
(
x
)
2
a
1
(
x
)
=
a
3
(
x
)
a
2
(
x
)
=
2
a
4
(
x
) +
a
00
0
(
x
)
4
a
0
(
x
)
−
5
16
a
00
0
(
x
)
a
0
(
x
)
2
!
a
3
(
x
)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2
27