6 / 12
(
i
−
6)
∗
=
1
, i
= 1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
(
i
−
6)
, i
= 7
,
8
,
9
, . . .
Аналогичное доказательство имеем и при
n
+ 1 = 10
k
+ 1
,
n
+
+ 1 = 10
k
+ 2
,
n
+ 1 = 10
k
+ 3
,
n
+ 1 = 10
k
+ 4
. Рассмотрим ряд
∞
X
n
=1
v
n
|
x
∗
−
x
|
(
n
−
1)/2
,
(12)
который является мажорирующим для ряда
∞
X
n
=1
C
n
|
x
∗
−
x
|
(
n
−
1)/2
.
Учитывая закономерность структуры коэффициентов
C
n
, ряд (12)
представляем в виде
∞
X
n
=1
v
n
|
x
∗
−
x
|
(
n
−
1)/2
=
=
∞
X
k
=1
v
5
k
|
x
∗
−
x
|
(5
k
−
5)/2
+
∞
X
k
=1
v
5
k
+1
|
x
∗
−
x
|
(5
k
−
4)/2
+
+
∞
X
k
=1
v
5
k
+2
|
x
∗
−
x
|
(5
k
−
3)/2
+
∞
X
k
=1
v
5
k
+3
|
x
∗
−
x
|
(5
k
−
2)/2
+
+
∞
X
k
=1
v
5k+4
|
x
∗
−
x
|
(5
k
−
1)/2
.
На основании признака Даламбера устанавливаем сходимость ряда
(12) в области
ρ
1
=
1
4
5
q
(+1)
2
. Полагая
ρ
2
= min
{
ρ
0
, ρ
1
}
, получаем
сходимость ряда (4) в области (5), что доказывает теорему.
I
Полученные в теореме 1 оценки позволяют построить приближен-
ное решение задачи (2), (3):
y
N
(
x
) = (
x
∗
−
x
)
−
1
/
2
N
X
n
=0
C
n
(
x
∗
−
x
)
n/
2
, C
0
6
= 0
.
(13)
Теорема 2.
Пусть выполняются пп. 1 и 2 теоремы 1, тогда для
приближенного решения
(4)
задачи
(2)
,
(3)
в области
|
x
∗
−
x
|
< ρ
2
справедлива оценка погрешности
Δ
y
N
(
x
) =
|
y
(
x
)
−
y
N
(
x
)
| ≤
Δ
,
(14)
где
Δ
≤
2
5
n
M
(
M
+ 1)
n
|
x
∗
−
x
|
(5
n
−
1)/2
1
−
2
5
(
M
+ 1)
|
x
∗
−
x
|
5/2
×
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2
31