3 / 12
уравнение (1) приводится к нормальной форме [6]
u
00
(
x
) =
u
5
(
x
) +
+
r
(
x
)
. Здесь
r
(
x
) =
−
a
5
1
(
x
)
4
p
a
0
(
x
)
5
5
a
4
0
(
x
)
−
3
a
00
0
(
x
)
4
p
a
0
(
x
)
20
a
2
0
(
x
)
+
a
5
(
x
)
4
p
a
0
(
x
)+
+
a
00
1
(
x
)
4
p
a
0
(
x
)
5
a
0
(
x
)
−
2
a
0
0
(
x
)
a
0
1
(
x
)
4
p
a
0
(
x
)
5
a
2
0
(
x
)
+
+
2 (
a
0
0
(
x
))
2
a
1
(
x
)
4
p
a
0
(
x
)
5
a
3
0
(
x
)
−
(
a
00
0
(
x
))
2
a
1
(
x
)
4
p
a
0
(
x
)
16
a
3
0
(
x
)
+
a
0
0
(
x
)
2
a
0
(
x
)
u
0
(
x
)
,
в каждой области, в которой
a
0
(
x
)
6
= 0
.
Рассмотрим задачу Коши
y
00
(
x
) =
y
5
(
x
) +
r
(
x
) ;
(2)
y
(
x
0
) =
y
0
, y
0
(
x
0
) =
y
1
.
(3)
Теорема 1.
Пусть
x
∗
— подвижная особая точка
y
(
x
)
задачи
(2)
,
(3)
и функция
r
(
x
)
удовлетворяет следующим условиям
:
1)
r
(
x
)
∈
C
∞
в области
|
x
∗
−
x
|
< ρ
0
, ρ
0
=
const
>
0
;
2)
∃
M
0
:
r
(
n
)
(
x
∗
)
n
!
≤
M
0
,
M
0
=
const,
n
= 0
,
1
,
2
, . . .
Тогда существует единственное решение задачи Коши
(2)
,
(3)
в
виде
y
(
x
) = (
x
∗
−
x
)
−
1/2
∞
X
n
=0
C
n
(
x
∗
−
x
)
n
/2
, C
0
6
= 0
,
(4)
правильная часть которого сходится в области
|
x
∗
−
x
|
< ρ
2
,
(5)
где
ρ
2
= min
{
ρ
0
, ρ
1
}
,
ρ
1
=
1
4
5
q
(+1)
2
,
M
= max
{
M
0
, α
}
,
α
—
пара-
метр, зависящий от условий
(3)
.
J
В соответствии с условием теоремы имеем
r
(
x
) =
∞
X
n
=0
B
n
(
x
∗
−
x
)
n
.
(6)
Учитывая структуру решения в окрестности подвижной особой точ-
ки, в общем случае
y
(
x
) = (
x
∗
−
x
)
ρ
∞
X
n
=0
C
n
(
x
∗
−
x
)
n
/2
,
C
0
6
= 0
, из
уравнения (2) получаем
∞
X
n
=0
C
n
(
x
∗
−
x
)
n
/2+
ρ
!
00
=
∞
X
n
=0
C
n
(
x
∗
−
x
)
n
/2+
ρ
!
5
+
∞
X
n
=0
B
n
(
x
∗
−
x
)
n
.
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2