9 / 12
Пример.
Найдем приближенное решение задачи (2), (3) в слу-
чае
r
(
x
) = 0
при начальных данных
y
(0
,
5) = 1
,
y
0
(0
,
5) = 1
/
√
3
и
α
= 0
,
001
. Эта задача имеет точное решение
y
=
s
√
3
1 +
√
3
−
2
x
.
Найдем радиус аналитичности
ρ
2
≈
0
,
18946457
, точное значение по-
движной особой точки
x
∗
= 1 +
√
3
/
2
. Выберем значение аргумента
x
= 1
,
3
. С использованием (13) при
N
= 12
вычислим приближенные
значения функции:
x
y
12
y
Δ
y
12
Δ
y
Δ
1
y
1,3 3,6216787 3,6216776 0,00012 0,0000011 0,000002
Здесь
y
12
— приближенное решение (13);
y
— значение точного реше-
ния;
Δ
y
12
— оценка погрешности приближенного решения (14) по те-
ореме 2;
Δ
y
— абсолютная погрешность приближенного решения
y
12
;
Δ
1
y
— апостериорная оценка погрешности, которая определяется пу-
тем решения обратной задачи теории погрешности. При
ε
= 0
,
000002
на основании апостериорной оценки убеждаемся в том, что в струк-
туре приближенного решения (13) должно быть значение
N
= 18
. В
таком случае нет необходимости рассчитывать сумму 18 слагаемых,
так как для номеров
n
= 1
−
5
,
7
−
11
,
13
−
17
коэффициенты
C
n
= 0
.
Добавка в структуре приближенного решения для
N
= 18
не превыша-
ет требуемой точности. Поэтому в структуре приближенного решения
можем ограничиться значением
N
= 12
, при котором приближенное
решение, содержащее три отличных от нуля слагаемых, будет иметь
погрешность
ε
= 0
,
000002
.
Обсуждение полученных результатов и сопоставление их с ра-
нее известными.
Полученные результаты позволяют строить при-
ближенное решение в окрестности подвижной особой точки с любой
наперед заданной точностью и в настоящее время не имеют анало-
гов для рассматриваемого уравнения. Для минимизации структуры
приближенного аналитического решения используется апостериорная
оценка погрешности.
Заключение.
Доказана теорема существования и единственности
решения рассматриваемого нелинейного дифференциального уравне-
ния второго порядка, технология доказательства которого позволяет
построить приближенное решение в окрестности подвижной особой
точки. Получено представление решения нелинейного дифференци-
ального уравнения в ряд по смешанным степеням.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Орлов В.Н.
Метод приближенного решения первого, второго дифференциаль-
ных уравнений Пенлеве и Абеля. М.: МПГУ, 2013. 174 с.
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2