2 / 11
calculation for the case where diffusion of the innovation process has an approximate
Gaussian distribution (Tukey distribution). It is found out that if the assumptions of
the Gaussian process are performed approximately, the maximum likelihood estimate
is more efficient than the least absolute deviation estimate.
Keywords
:
random coefficient autoregressive model, least absolute deviations
estimate, maximum likelihood estimate, asymptotic relative efficiency.
Введение.
Во многих областях науки и техники (например, [1–3])
эволюционные процессы описываются разностным уравнением
X
t
= Φ
t
1
X
t
−
1
+Φ
t
2
X
t
−
2
+
. . .
+Φ
tp
X
t
−
p
+
ε
t
,
t
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . . ,
(1)
где
Φ
t
1
, . . . ,
Φ
tp
,
ε
t
— случайные величины. Уравнение (1) называется
авторегрессионным уравнением порядка
p
со случайными коэффи-
циентами, а основной задачей при его анализе является оценивание
математических ожиданий
ϕ
1
= EΦ
t
1
, . . . , ϕ
p
= EΦ
tp
авторегресси-
онных коэффициентов
Φ
t
1
, . . . ,
Φ
tp
. Традиционный метод оценивания
параметров
ϕ
1
, . . . , ϕ
p
— обобщенный метод максимального правдопо-
добия [4, 5]. Альтернатива оценкам максимального правдоподобия —
оценки наименьших модулей.
В настоящей работе для авторегрессионного уравнения первого
порядка проведено сравнение оценок максимального правдоподобия
и наименьших модулей путeм вычисления асимптотической относи-
тельной эффективности (АОЭ) этих оценок и изучения зависимости
поведения АОЭ от параметров процесса
X
t
.
Оценки максимального правдоподобия и наименьших моду-
лей.
Рассмотрим уравнение авторегрессии первого порядка со слу-
чайным коэффициентом
ϕ
+
η
t
:
X
t
= (
ϕ
+
η
t
)
X
t
−
1
+
ε
t
,
t
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . . ,
(2)
где
ϕ
— параметр уравнения, являющийся неслучайным действитель-
ным числом;
(
η
t
, ε
t
)
,
t
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . .
— последовательность незави-
симых одинаково распределенных случайных векторов с независимы-
ми координатами, нулевыми математическими ожиданиями
E
η
t
= 0
,
E
ε
t
= 0
и конечными дисперсиями
D
η
t
=
σ
2
η
>
0
,
D
ε
t
=
σ
2
ε
>
0
.
Если
σ
2
η
= 0
, то коэффициент
ϕ
+
η
t
неслучайный и уравнение (2) —
классическое авторегрессионное уравнение. Предположим, что
X
t
—
стационарный процесс. В работе [4] показано, что при условии
ϕ
2
+
+
σ
2
η
<
1
существует стационарное решение уравнения (2), которое
представляется в виде сходящегося с вероятностью единица ряда
X
t
=
∞
X
i
=0
δ
ti
ε
t
−
i
, δ
t
0
= 1
, δ
ti
=
i
−
1
Y
j
=0
(
ϕ
+
η
t
−
j
)
для любых
i >
0
.
(3)
Предположим, что параметр
ϕ
неизвестен и рассмотрим два ме-
тода его оценивания по наблюдениям
X
0
, X
1
, . . . , X
n
процесса
X
t
—
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
21