Background Image
Previous Page  4 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 11 Next Page
Page Background

ее отклонение от оцениваемого параметра. Если оценка состоятельна,

то в скалярном случае за меру качества оценки разумно принять ее

асимптотическую дисперсию. Поэтому для сравнения оценки макси-

мального правдоподобия и оценки наименьших модулей необходимо

выяснить, какая из двух величин (4) или (5) меньше. Следователь-

но, мерой сравнения качества двух состоятельных асимптотически

нормальных оценок естественно считать АОЭ, которая определяется

как обратное отношение их асимптотических дисперсий. В частности,

АОЭ

e

(

f

η

, f

ε

)

оценки наименьших модулей по отношению к оценке

максимального правдоподобия равна

e

(

f

η

, f

ε

) =

E

X

2

0

σ

2

η

X

2

0

+

σ

2

ε

1

E(

X

2

0

)

4E

2

[

X

2

0

f

ε

(

η

1

X

0

)]

=

4E

2

[

X

2

0

f

ε

(

η

1

X

0

)]

E(

X

2

0

)E

X

2

0

σ

2

η

X

2

0

+

σ

2

ε

.

(6)

В соответствии с определением, если

e

(

f

η

, f

ε

)

>

1

, то оценка наи-

меньших модулей лучше (точнее) оценки максимального правдопо-

добия, а если

e

(

f

η

, f

ε

)

<

1

, то оценка максимального правдоподобия

лучше оценки наименьших модулей.

Отметим, что АОЭ

e

(

f

η

, f

ε

)

зависит от распределения вероятно-

сти случайных величин

η

1

и

ε

1

и одна из этих оценок не будет луч-

ше другой при всех функциях

f

η

, f

ε

. Поэтому необходимо вычислить

АОЭ

e

(

f

η

, f

ε

)

для наиболее распространенных распределений. Однако

при определении математических ожиданий в АОЭ

e

(

f

η

, f

ε

)

возника-

ет трудность, связанная с неизвестностью распределения вероятности

случайной величины

X

0

, поскольку она зависит от величин

η

t

и

ε

t

,

t

6

0

, достаточно сложным образом (см. (3)). В частности, из гауссо-

вости величин

η

t

и

ε

t

,

t

6

0

, не следует гауссовость величины

X

0

.

Представление АОЭ через моменты авторегрессионного про-

цесса.

Используя соотношение

1

/

(1

x

) =

P

n

=0

x

n

,

|

x

|

<

1

,

получаем

X

2

0

σ

2

η

X

2

0

+

σ

2

ε

=

X

2

0

σ

2

ε

X

n

=0

X

2

0

σ

2

η

σ

2

ε

n

и

E

X

2

0

σ

2

η

X

2

0

+

σ

2

ε

=

1

σ

2

ε

X

n

=0

σ

2

η

σ

2

ε

n

E

X

2

n

+2

0

(7)

в предположении, что моменты

E(

X

2

n

+2

0

)

существуют для всех

n

и

ряд в правой части равенства (7) сходится. Предположим, что функ-

ция

f

ε

(

x

)

бесконечно дифференцируема. Тогда из разложения функции

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3

23