Background Image
Previous Page  8 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 8 / 11 Next Page
Page Background

при

k

σ

→ ∞

,

и

E

X

2

0

f

ε

(

η

1

X

0

)

можно сколь угодно точно аппрок-

симировать величиной

E

X

2

0

˜

f

ε

(

η

1

X

0

)

, увеличивая по мере необхо-

димости постоянную

k

σ

. Оценку точности можно получить, вычи-

сляя момент

E

X

2

0

по формуле (9), которая при

n

= 2

имеет вид

E

X

2

0

=

E

ε

2

1

1

ϕ

2

E

η

2

1

.

Более точную оценку точности можно найти, используя нера-

венство Коши – Буняковского и второе неравенство Чебышeва. Обо-

значив через

I

(

|

η

1

X

0

|

> σk

σ

)

индикаторную функцию множества

{|

η

1

X

0

|

> σk

σ

}

, получим

E(

X

2

0

f

ε

(

η

1

X

0

))

E(

X

2

0

˜

f

ε

(

η

1

X

0

)) =

= E

X

2

0

f

ε

(

η

1

X

0

)

I

(

|

η

1

X

0

|

> σk

σ

)

q

E (

X

4

0

f

2

ε

(

η

1

X

0

))E (

I

(

|

η

1

X

0

|

> σk

σ

))

q

E

X

4

0

e

k

2

σ

2

8

πσ

2

Φ

2

0

(

k

σ

)

E

η

2

1

E

X

2

0

σ

2

k

2

σ

=

E

η

2

1

E

X

2

0

p

E

X

4

0

8

πσ

4

Φ

2

0

(

k

σ

)

k

2

σ

e

k

2

σ

2

.

(19)

Таким образом, если величины

η

t

и

ε

t

имеют усеченное нормальное

распределение, то

E

X

2

0

f

ε

(

η

1

X

0

)

1

0

(

k

σ

)

σ

2

π

X

n

=0

(

1)

n

2

n

σ

2

n

n

!

E

η

2

n

1

E

X

2

n

+2

0

,

где

E

X

2

n

+2

0

и

2

n

1

вычисляются по формулам (9) и (10).

Пример.

Пусть

η

t

и

ε

t

имеют усеченное нормальное распреде-

ление,

ϕ

= 0

,

2

,

k

ω

= 3

,

ω

= 0

,

1

,

k

σ

= 3

,

σ

= 3

и в формулах (7),

(8) берутся первые шесть членов суммы. Тогда АОЭ оценки наимень-

ших модулей по отношению к оценке максимального правдоподобия

равна 0,637, при этом значение погрешности вычисления АОЭ, свя-

занной с заменой функции

f

ε

функцией

˜

f

ε

согласно (19), не превы-

шает 0,000113. Таким образом, для достижения одинаковой точности

оценки наименьших модулей необходимо примерно в 1,5 раза больше

наблюдений, чем при оценке максимального правдоподобия. Высо-

кая эффективность оценки максимального правдоподобия объясняет-

ся тем, что она по определению является наилучшей, если процесс

X

t

имеет нормальное распределение. Между тем истинное распреде-

ление

X

t

не сильно отличается от нормального, поскольку вследствие

небольших значений

ϕ

и

ω

распределение

X

t

согласно (3) практически

совпадает с распределением

ε

t

.

Усеченное распределение Тьюки.

История применения метода

максимального правдоподобия показала, что он достаточно чувствите-

лен даже к небольшим нарушениям в предположении о распределении

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3

27