Background Image
Previous Page  9 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 9 / 11 Next Page
Page Background

случайных величин. Хорошей моделью нарушения предположений о

нормальности является распределение Тьюки (см. [6]) с плотностью

f

(

x

) = (1

γ

)

1

2

πτ

e

x

2

/

(2

τ

2

)

+

γ

1

2

πσ

e

x

2

/

(2

σ

2

)

,

0

γ

1

, τ >

1

.

Последовательность случайных величин, имеющих распределение

Тьюки, имитирует типичное на практике загрязнение последователь-

ности нормальных величин с нулевым математическим ожиданием и

дисперсией

τ

2

, добавляя в нее случайно с вероятностью

γ

нормальные

случайные величины также с нулевым математическим ожиданием,

но с большей, чем

τ

2

, дисперсией

σ

2

.

Если величины

η

1

имеют усеченное нормальное распределение, а

ε

1

— распределение Тьюки, то

E

ε

n

1

=

(

0

,

если

n

нечетно

;

(

n

1)!!((1

γ

)

τ

n

+

γσ

n

,

если

n

четно

.

Следовательно, ряд (7) будет расходиться. Поэтому предположим, что

величины

ε

1

имеют усеченное распределение Тьюки:

f

ε

(

x

) = (1

γ

)

g

1

(

x

) +

γg

2

(

x

)

,

где

g

1

(

x

) =

 

e

x

2

/

(2

τ

2

)

0

(

k

τ

)

τ

2

π

,

если

|

x

| ≤

k

τ

τ

;

0

,

если

|

x

| ≤

k

τ

τ,

g

2

(

x

) =

 

e

x

2

/

(2

σ

2

)

0

(

k

σ

)

σ

2

π

,

если

|

x

| ≤

k

σ

σ

;

0

,

если

|

x

| ≤

k

σ

σ,

k

τ

,

τ

,

k

σ

,

σ

— некоторые положительные постоянные. Вычисляя АОЭ

по формуле (6), получаем, что она не только превышает в ряде слу-

чаев единицу, но и может быть сколь угодно большой с возрастанием

доли загрязнения

γ

и уровня загрязнения

σ

. Изложенное хорошо ил-

люстрируют зависимости АОЭ от величин

γ

и

σ

. Для определенности

предполагалось, что

ϕ

= 0

,

1

,

ω

= 0

,

01

,

k

ω

= 3

,

k

τ

= 3

,

τ

= 1

,

k

σ

= 3

.

Зависимость АОЭ от величины

σ

при различных значениях

γ

при-

ведена на части

а

рисунка, а зависимость АОЭ от величины

γ

при

различных значениях

σ

— на части

б

рисунка. Видно, что с возраста-

нием величин

γ

и

σ

АОЭ увеличивается, становясь при

σ >

2

,

22

для

некоторых значений

γ

больше единицы, что свидетельствует о пре-

восходстве для этих значений параметров

γ

и

σ

оценки наименьших

модулей над оценкой максимального правдоподобия. Отметим, что

при

γ >

0

,

5

роль засорения наблюдений начинают играть случайные

28

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3