Background Image
Previous Page  5 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 11 Next Page
Page Background

f

ε

(

x

)

в нуле в ряд Тейлора и независимости величины

η

1

от

X

0

имеем

E

X

2

0

f

ε

(

η

1

X

0

) =

X

n

=0

f

(

n

)

ε

(0)

n

!

E

η

n

1

E

X

n

+2

0

.

(8)

Таким образом, вычисление АОЭ свелось к определению моментов

E

X

n

0

случайной величины

X

0

и выяснения условий сходимости рядов

(7) и (8).

Поскольку процесс

X

t

предполагается стационарным, его моменты

E

X

n

t

не зависят от

t

и совпадают с

E

X

n

0

. С учетом этого, а также пред-

положения о независимости и одинаковой распределенности

(

η

t

, ε

t

)

возведем обе части (2) в

n

-ю степень, применим операцию матема-

тического ожидания и запишем выражение

E

X

n

t

= E((

ϕ

+

η

t

)

X

t

1

+

+

ε

t

)

n

=

n

P

k

=0

C

k

n

E

X

k

t

1

E

ε

n

k

t

E(

ϕ

+

η

t

)

k

,

из которого вытекает рекур-

рентное соотношение для моментов

E(

X

n

0

)

:

E

X

n

0

=

1

1

E(

ϕ

+

η

1

)

n

n

1

X

k

=0

C

k

n

E

X

k

0

E

ε

n

k

1

E(

ϕ

+

η

1

)

k

.

(9)

Равенство (9) накладывает ограничения на функции

f

η

и

f

ε

, в частно-

сти случайные величины

η

t

,

ε

t

не могут быть нормальными. Действи-

тельно, если величины

η

1

и

ε

1

имеют нормальное распределение, то

для любого натурального

n

:

E

η

2

n

1

= (

n

1)!!

σ

2

n

η

,

E

η

2

n

1

1

= E

ε

2

n

1

1

= 0

,

где

(

n

1)!! = 1

3

5

∙ ∙ ∙

(

n

1)

. Поэтому

E

η

2

n

1

→ ∞

при

n

→ ∞

и

1

E(

ϕ

+

η

1

)

2

n

<

0

при

ϕ >

0

и достаточно больших значениях

n

, в то

время как сумма в правой части (9) остается всегда положительной.

Таким образом,

E

X

2

n

0

<

0

для достаточно больших значений

n

, что

невозможно.

Усеченное нормальное распределение.

Преодолеть эту трудность

можно, предположив, что величины

η

t

имеют усеченное нормальное

распределение:

f

η

(

x

) =

 

1

0

(

k

ω

)

ω

2

π

e

x

2

/

(2

ω

2

)

,

если

|

x

| ≤

ωk

ω

;

0

,

если

|

x

|

> ωk

ω

,

где

Φ

0

(

x

) =

x

Z

0

1

2

π

e

t

2

/

2

dt

— функция Лапласа;

ω

и

k

ω

— некоторые

положительные постоянные. В частности, при

k

ω

= 3

имеем аппрокси-

мацию нормального распределения с помощью “правила трех сигм”,

а увеличивая постоянную

k

ω

, можно сколь угодно точно аппроксими-

ровать нормальное распределение усеченным нормальным распреде-

лением, что достаточно для практических приложений. В этом случае

24

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3