Background Image
Previous Page  7 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 11 Next Page
Page Background

Предположим, что величины

ε

t

, как и величины

η

t

, тоже имеют

усеченное нормальное распределение:

f

(

x

) =

 

1

0

(

k

σ

)

σ

2

π

e

x

2

/

(2

σ

2

)

,

если

|

x

| ≤

σk

σ

;

0

,

если

|

x

|

> σk

σ

,

(15)

где

σ

,

k

σ

— некоторые положительные постоянные. Тогда аналогично

(11), (12) имеем

E

ε

2

1

=

σ

2

1

k

σ

e

k

2

σ

/

2

2

π

Φ

0

(

k

σ

)

!

,

(16)

E

ε

2

n

1

(

σk

σ

)

2

n

.

(17)

Пусть

|

ϕ

|

+

ωk

ω

<

1

.

(18)

Тогда

n

p

1

(

|

ϕ

|

+

ωk

ω

)

2

n

0

при

n

→ ∞

. Поэтому из (14) и призна-

ка Коши сходимости рядов следует, что ряд (7) абсолютно сходится,

если

σ

η

σk

σ

ε

<

1

, что равносильно (см. (11), (16)) условию

ω

2

k

2

σ

1

k

ω

e

k

2

ω

/

2

2

π

Φ

0

(

k

ω

)

!

1

k

σ

e

k

2

σ

/

2

2

π

Φ

0

(

k

σ

)

!

<

1

.

В частном случае, когда

k

ω

=

k

σ

, это выражение превращается в не-

равенство

ωk

ω

<

1

, которое поглощается условием (18).

Вычисление АОЭ.

Перейдем к изучению сходимости ряда (8),

где функция

f

ε

(

x

)

имеет вид (15). Функция

f

ε

(

x

)

вида (15) разрывна,

поэтому в (8) заменим ее функцией

˜

f

ε

(

x

) =

1

0

(

k

σ

)

σ

2

π

e

x

2

/

(2

σ

2

)

,

ряд Тейлора которой сходится на всей числовой оси. В этом случае

f

ε

(

x

)

˜

f

ε

(

x

) =

 

0

,

если

|

x

| ≤

σk

σ

;

1

0

(

k

σ

)

σ

2

π

e

x

2

/

(2

σ

2

)

,

если

|

x

|

> σk

σ

,

и для всех действительных

x

:

|

f

ε

(

x

)

˜

f

ε

(

x

)

| ≤

1

0

(

k

σ

)

σ

2

π

e

k

2

σ

/

(2

σ

2

)

.

Поэтому

E(

X

2

0

f

ε

(

η

1

X

0

))

E(

X

2

0

˜

f

ε

(

η

1

X

0

))

E

X

2

0

0

(

k

σ

)

σ

2

π

e

k

2

σ

/

(2

σ

2

)

0

26

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3