Background Image
Previous Page  3 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 11 Next Page
Page Background

обобщенный метод максимального правдоподобия и метод наимень-

ших модулей.

Обозначим через

F

t

σ

-алгебру, порожденную множеством случай-

ных величин

{

η

s

, ε

s

, s

6

t

}

. Обобщенный метод максимального прав-

доподобия заключается в построении и максимизации условной функ-

ции правдоподобия в предположении, что условное распределение

X

t

при условии

F

t

1

является нормальным. Согласно (1), условное ма-

тематическое ожидание и условная дисперсия

X

t

при условии

F

t

1

имеют вид

E(

X

t

|

F

t

1

) =

ϕX

t

1

,

D(

X

t

|

F

t

1

) =

σ

2

η

X

2

t

1

+

σ

2

ε

.

Поэто-

му, если бы вектор

(

η

t

, ε

t

)

являлся нормальным, то условная функция

правдоподобия имела бы вид

L

n

(

ϕ

) =

n

Y

i

=1

1

q

2

π

(

σ

2

η

X

2

i

1

+

σ

2

ε

)

exp

(

X

i

ϕX

i

1

)

2

2(

σ

2

η

X

2

i

1

+

σ

2

ε

)

.

Обобщенная оценка максимального правдоподобия

ˆ

ϕ

n

определяется

как точка максимума

L

n

(

ϕ

)

.

Обозначим

ln

+

(

x

) = max(ln(

x

)

,

0)

положительную часть логариф-

ма. Пусть в дополнение к перечисленным выше условиям справедливы

неравенства

E ln

+

|

ε

1

|

<

,

E ln

+

|

ϕ

+

η

1

|

<

,

−∞

<

E ln

|

ϕ

+

η

1

|

<

0

.

В работе [4] показано, что в этом случае оценки максимального прав-

доподобия являются состоятельными и асимптотически нормальными

оценками, т.е.

ˆ

ϕ

n

ϕ

по вероятности при

n

→ ∞

и последова-

тельность случайных величин

n

( ˆ

ϕ

n

ϕ

)

сходится при

n

→ ∞

по

распределению к нормальной случайной величине с нулевым матема-

тическим ожиданием и дисперсией

E

X

2

0

σ

2

η

X

2

0

+

σ

2

ε

1

.

(4)

Оценка наименьших модулей

˜

ϕ

n

параметра

ϕ

определяется как

точка минимума функции

L

n

(

ϕ

) =

n

P

i

=1

|

X

i

ϕX

i

1

|

.

Обозначим через

f

ε

,

f

η

плотности распределения вероятности

ε

1

и

η

1

соответственно.

Было установлено, что если

f

ε

,

f

η

— четные функции и выполнены

условия

E

η

1

= 0

,

D

η

1

=

σ

2

η

<

,

E

ε

1

= 0

,

D

ε

1

=

σ

2

ε

<

,

ϕ

2

+

+

σ

2

η

<

1

, то оценка

˜

ϕ

n

состоятельна, а последовательность случайных

величин

n

( ˜

ϕ

n

ϕ

)

при

n

→ ∞

асимптотически нормальна с нулевым

математическим ожиданием и дисперсией

E

X

2

0

4E

2

[

X

2

0

f

ε

(

η

1

X

0

)]

.

(5)

Асимптотическая относительная эффективность.

При наличии

нескольких оценок одного и того же параметра возникает задача срав-

нения их друг с другом. Очевидно, что оценка тем лучше, чем меньше

22

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3