10 / 16
Используя значения известных интегралов Вебера [9, 10], получаем
σ
(1)
z
(
r,
0) =
b
1
r
Δ
d
dr
a
Z
0
tτ
∗
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
−
b
3
Δ
r
d
dr
a
Z
0
tw
0
∗
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
;
τ
(1)
rz
(
r,
0) =
−
b
1
Δ
d
dr
a
Z
0
σ
∗
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
−
b
3
Δ
d
dr
a
Z
0
u
0
∗
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
, r > a.
(20)
Подставим в (20) выражения для величин
τ
∗
(
t
)
,
w
0
∗
(
t
)
,
σ
∗
(
t
)
и
u
0
∗
(
t
)
через функции
ϕ
j
(
x
)
,
j
= 1
,
2
, после некоторых элементарных выкла-
док запишем
σ
(1)
z
(
r,
0) =
−
1
r
d
dr
Im
A
1
a
Z
0
tϕ
1
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
−
B
1
a
Z
0
tϕ
2
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
;
τ
(1)
rz
(
r,
0) =
d
dr
Re
A
1
t
Z
0
ϕ
1
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
−
B
1
a
Z
0
ϕ
2
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
, r > a,
(21)
где
A
1
=
−
θ
(2)
2
λ
2
b
1
+
b
3
θ
(2)
2
(
λ
1
−
λ
2
) Δ
;
B
1
=
−
θ
(2)
2
λ
1
b
1
+
b
3
θ
(2)
2
(
λ
1
−
λ
2
) Δ
.
Не нарушая общности, рассмотрим случай, когда квадратное урав-
нение (14) имеет различные комплексные корни:
λ
2
=
λ
1
. Следова-
тельно,
g
2
=
g
1
и
γ
2
=
−
γ
1
. Пусть
0
<
Re
γ
1
<
1
/
2
, тогда
ϕ
1
(
x
) =
D
1
a
−
x
a
+
x
γ
;
ϕ
2
(
x
) =
D
2
a
+
x
a
−
x
ˉ
γ
;
D
j
=
−
P
0
q
2
j
2
πaγ
j
1
−
q
2
j
sin
πγ
j
, γ
=
γ
1
=
−
ˉ
γ
2
, j
= 1
,
2
.
Согласно приведенным выражениям,
ϕ
1
(
a
)
≡
0
, следовательно, пер-
вые слагаемые, входящие в представления (21), имеют в точке
r
=
a
более низкий порядок, чем вторые. Это означает, что особенность на-
пряжений на окружности
r
=
a
обусловлена вторыми слагаемыми.
Изучим поведение этих слагаемых при
r
=
a
. Имеем
I
1
=
1
r
d
dr
a
Z
0
tϕ
2
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
=
D
2
r
d
dr
a
Z
0
t
a
+
t
a
−
t
γ
dt
√
r
2
−
t
2
=
=
aD
2
r
d
dr
ψ
(
a, r
)
a
Z
0
t
a
−
t
γ
dt
r
−
t
+
40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3