12 / 16
+
D
2
d
dr
a
Z
0
ψ
(
t, r
)
−
ψ
(
t, a
)
r
−
t
t
a
−
t
γ
dt.
Тогда
σ
(1)
z
(
r,
0) =
Im
(
πγ
2
γ
B
1
D
2
sin
πγ
(
r/a
)
γ
−
1
(
r/a
+ 1)
−
1
/
2
(
r/a
−
1)
ˉ
γ
+1
/
2
)
+
ϕ
∗
1
(
r
) ;
τ
(1)
rz
(
r,
0) =
−
Re
(
πγ
2
γ
B
1
D
2
a
sin
πγ
(
r/a
)
γ
−
1
(
r/a
+ 1)
−
1
/
2
(
r/a
−
1)
ˉ
γ
+1
/
2
)
+
ϕ
∗
2
(
r
) ;
(23)
ϕ
∗
1
(
r
) =
−
1
r
d
dr
Im
A
1
a
Z
0
tϕ
1
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
+
Im
{
B
1
ϕ
1
(
r
)
}
;
ϕ
∗
2
(
r
) =
d
dr
Re
A
1
a
Z
0
ϕ
1
(
t
)
dt
√
r
2
−
t
2
−
Re
{
B
1
ϕ
2
(
r
)
}
.
Умножив второе уравнение из (23) на
i
и суммируя с первым уравне-
нием, находим
σ
(1)
z
(
r,
0) +
iτ
(1)
rz
(
r,
0) =
−
πiγ
2
γ
B
1
D
2
a
sin
πγ
(
r/a
)
γ
−
1
(
r/a
+1)
−
1
/
2
(
r/a
−
1)
ˉ
γ
+1
/
2
+
ϕ
(
r
)
,
ϕ
(
r
) =
ϕ
∗
1
(
r
) +
iϕ
∗
2
(
r
)
, r > a.
(24)
Согласно формуле (24), контактные напряжения, действующие на
плоскости стыка полупространств вне трещины, в концевой точке тре-
щины не ограничены и имеют порядок
γ
+1
/
2
, причем Re
(
γ
+ 1)
/
2
>
>
1
/
2
. С учетом этого коэффициент интенсивности разрушающих на-
пряжений на окружности
r
=
a
будет определяться по формуле
K
I
+
iK
II
=
−
πi
ˉ
γ
2
γ
−
1
/
2
a
sin
π
ˉ
γ
D
2
B
1
.
(25)
Аналогично можно получить коэффициент интенсивности напряже-
ний при других значениях
γ
1
.
Об одном частном случае.
Рассмотрим частный случай поста-
вленной задачи:
u
2
(
r
) =
P
(1)
0
(
r
) = 0
и
w
2
(
r
) =
δ
=
const, т.е. когда
на нижний берег монетообразной трещины под действием сосредо-
точенной силы
P
вдавливается полностью сцепленная с ней жест-
кая шайба-включение. Тогда
V
0
2
(
x
) =
−
iδ
;
χ
0
(
x
) = 0
;
P
0
=
P/π
;
f
1
(
x
) =
2
πθ
(1)
2
[
δb
1
+
d
1
C
∗
] =
C
1
;
f
2
(
x
) =
2
πθ
(1)
2
θ
(2)
2
[
δb
3
+
b
1
C
∗
] =
C
2
.
42
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3