13 / 16
Из формул (17) получим
ϕ
j
(
x
) =
(
λ
j
C
1
+
C
2
)
q
j
i
sin
πγ
j
1
−
q
2
j
ω
j
(
x
)
,
|
x
|
<
1;
j
= 1
,
2
.
(26)
Удовлетворяя условиям (16), находим
λ
j
C
1
+
C
2
=
−
iP
0
2
πa
q
j
γ
j
, j
= 1
,
2
.
(27)
Подставим (27) в (26) и запишем
ϕ
j
(
x
) =
−
P
0
q
2
j
ω
j
(
x
)
2
πaγ
j
1
−
q
2
j
sin
πγ
j
, j
= 1
,
2
,
|
x
|
< a.
После определения функций
ϕ
j
(
x
)
,
j
= 1
,
2
,
по формулам (17)
нетрудно вычислить значения контактных напряжений, действующих
под шайбой-включением, и параметры раскрытия трещин. Однако
кроме указанных величин, одной из важнейших механических ха-
рактеристик в рассматриваемой задаче является жесткое смещение
δ
шайбы-включения, которое также легко найти, используя соотноше-
ния (27). Действительно, рассматривая (27) как систему алгебраиче-
ских уравнений, получаем
C
1
=
iP
0
(
q
1
γ
2
−
q
1
γ
2
)
4
πaγ
1
γ
2
(
λ
2
−
λ
1
)
;
C
2
=
iP
0
(
q
1
γ
2
λ
2
−
q
1
γ
2
λ
1
)
4
πaγ
1
γ
2
(
λ
1
−
λ
2
)
.
Используя приведенные формулы для постоянных
C
j
,
j
= 1
,
2
,
че-
рез параметры
δ
и
C
∗
запишем формулу для определения жесткого
смещения шайбы-включения
δ
=
πθ
(1)
2
b
1
C
1
−
θ
(2)
2
d
1
C
2
2 (
b
2
1
−
b
3
d
1
)
.
(28)
Отметим, что в случае однородного пространства из формулы (28)
для жесткого смещения шайбы-включения получается выражение
δ
=
P
(1 +
ν
)
√
3
−
4
ν
πaE
(1 + 16
β
2
)
, β
=
1
2
π
ln
√
3
−
4
ν,
которое совпадает с выражением, полученным для этой величины
Г.Я. Поповым в работе [5]. Здесь
ν, E
— коэффициент Пуассона и мо-
дуль упругости однородного пространства.
Численный расчет.
Выполнены численные расчеты и по форму-
лам (25), (28) получены значения приведенного безразмерного жест-
кого смещения штампа
δ
∗
=
δaE
2
/P
и приведенных безразмерных
коэффициентов интенсивности
K
∗
I
=
a
2
K
I
/P
;
K
∗
II
=
a
2
K
II
/P
при
различных значениях
μ
=
μ
1
/μ
2
, когда коэффициенты Пуассона двух
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
43