7 / 16
Отметим, что при этом условия (8) можно записать в виде
a
Z
−
a
V
0
(
x
)
dx
= 0;
a
Z
−
a
χ
(
x
)
dx
=
P
0
.
(12)
Решение системы определяющих уравнений.
Решим систему
(11) при условиях (12). Для этого согласно рекомендациям, изложен-
ным в работе [3], умножим первое уравнение (11) на величину
λ
6
= 0
и просуммируем со вторым. Получим
χ
(
x
) +
λV
0
(
x
) +
i
(
λa
1
−
b
∗
1
)
π
a
Z
−
a
χ
(
t
)
−
λ
0
V
0
(
t
)
t
−
x
dt
=
λf
1
(
x
) +
f
2
(
x
)
.
(13)
Потребуем, чтобы имело место равенство
λ
0
= (
λa
2
+
b
∗
2
) / (
λa
1
−
b
∗
1
)=
=
−
λ
, т.е. величина
λ
должна быть решением квадратного уравнения
a
1
λ
2
+
λ
(
a
2
−
b
∗
1
) +
b
∗
2
= 0
.
(14)
Легко проверить, что решения полученного квадратного уравнения
совпадают с решениями соответствующего уравнения, приведенного
в работе [3].
Рассмотрим случай, когда уравнение (14) имеет два различных кор-
ня. Приняв в (13) поочередно
λ
=
λ
1
,
λ
=
λ
2
и обозначив
ϕ
j
(
x
) =
χ
(
x
) +
λ
j
V
0
(
x
)
, F
j
(
x
) =
λ
j
f
1
(
x
) +
f
2
(
x
) ;
q
j
=
−
a
2
+
b
∗
1
+ (
−
1)
j
q
(
b
∗
1
−
a
2
)
2
−
4
a
1
b
∗
2
2
, j
= 1
,
2
,
для определения функций
ϕ
j
(
x
)
,
j
= 1
,
2
, запишем следующие сингу-
лярные интегральные уравнения:
ϕ
j
(
x
) +
iq
j
π
a
Z
−
a
ϕ
j
(
s
)
s
−
x
ds
=
F
j
(
x
)
,
−
a < x < a.
(15)
При этом условия (12) принимают вид
0
Z
−
0
ϕ
j
(
x
)
dx
=
P
0
, j
= 1
,
2
.
(16)
Решение уравнений (15) запишем в виде [1, 8]
ϕ
j
(
x
) =
1
1
−
q
2
j
F
j
(
x
) +
q
j
ω
j
(
x
)
πi
a
Z
−
a
F
j
(
s
)
ds
ω
j
(
s
) (
s
−
x
)
.
(17)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
37