15 / 19
величины
μ
n
опускается. Перепишем (29) как
∂
2
F
∂z
2
+
a
(
z
)
∂F
∂z
+
b
(
z
)
F
= 0;
(30)
a
(
z
) =
γ
−
(
γ
+ 1)
z
z
(1
−
z
)
;
b
(
z
) =
−
αβ
z
(1
−
z
)
и рассмотрим область
z >
1
. Решение (30) будем искать в виде
F
(
z
) =
R
(
z
)
U
(
z
)
, где
R
(
z
) = exp
−
1
2
z
Z
0
a
(
u
)
du
=
z
−
(1+
iμ
)
/
2
/
√
z
−
1
.
Тогда для определения функции
U
(
z
)
получаем следующее уравнение:
d
2
U
dz
2
+
3
z
2
−
3
z
+ 4 + 4
μ
2
(1
−
z
)
16(1
−
z
)
2
z
2
U
= 0
.
(31)
При больших значениях
μ
уравнение (31) упрощается
d
2
U
dz
2
+
μ
2
b
1
(
z
)
U
= 0;
b
1
(
z
) =
1
4
z
2
(
z
−
1)
.
(32)
ВКБ-асимптотика уравнения (32) строится стандартным образом,
в результате имеем [13]
U
(
z
) =
B
4
p
b
1
(
z
)
exp
μ
z
Z
0
p
b
1
(
u
)
du
1 +
O
1
μ
.
(33)
Откуда
U
(
z
) =
B
√
2
z
4
√
z
−
1 exp(
μ
arctg
√
z
−
1)
и с учетом выраже-
ния для
R
(
z
)
получим
F
(
z
) =
B
√
2
4
√
z
−
1
exp(
−
iμ
ln
z/
2) exp(
μ
arctg
√
z
−
1)
.
Для нахождения значения нормировочного коэффициента
B
рас-
смотрим асимптотику гипергеометрической функции при
z
→ ∞
, име-
ющую вид [14, 15]
F
(
z
) =
Γ(
iμ
+ 1)Γ(1
/
2)
(Γ(
iμ/
2 + 3
/
4))
2
(
−
z
)
−
1
/
4
−
iμ/
2
+
O z
−
3
/
4
.
(34)
Заменяя гамма-функцию ее асимптотикой при больших значениях па-
раметра
μ
, представим (34) как
F
(
z
) = 2
iμ
exp
−
iπ
4
exp
πμ
2
z
−
1
/
4
exp
−
iμ
ln
z
2
.
(35)
Сравнивая выражения (34) и (35), находим
B
= 2
iμ
exp(
−
iπ/
4)
/
√
2
.
Окончательно, при
z >
1
ВКБ-асимптотика гипергеометрической
72
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3