Background Image
Previous Page  8 / 19 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 8 / 19 Next Page
Page Background

ВКБ-асимптотикой гипергеометрической функции из (21):

F

(

τ

2

)

exp

i μ

n

2

ln

τ

2

4

+ ln

1 +

1

τ

2

1

− √

1

τ

2

4

q

1

τ

2

.

(23)

Далее используем асимптотику гамма-функции из (21) при больших

значениях

μ

n

:

Γ(

i μ

n

+1

/

2)

Γ(

i μ

n

+1)

exp(

iπ/

4)

/

μ

n

. Окончательно полу-

чаем следующее выражение для ВКБ-асимптотики при больших зна-

чениях

μ

n

отдельной волновой моды:

p

n

(

r, ϕ, x

)

≈ −

q

τ

cos(

ϕμ

n

) cos(

ϕ

0

μ

n

)

2

μ

n

πr r

0

ϕ

r

cos

μ

n

2

ln

1 +

1

τ

2

1

− √

1

τ

2

+

π

4

.

(24)

Следует отметить, что если формально принять в разложении (22)

μ

n

→ ∞

, а в ВКБ-асимптотике (23) для

F

(

z

)

z

0

с учетом

n

O

(1)

, то в обоих случаях получаем одинаковое значение, равное

exp(

iz μ

n

/

4)

. Таким образом, разложения (22) и ВКБ-асимптотика

(23) внутренне согласованы, т.е. имеется область значений

z, μ

n

, где

эти выражения совпадают. Согласно выражению (24), амплитуда

n

моды при больших значениях

x

,

y

убывает как

((

x

2

+

y

2

)

n

)

1

/

2

. Рас-

кладывая фазу в (24) при малых значениях

τ

, получаем, что длина по-

луволны вдоль оси

y

при больших значениях

y

возрастает как

πy/ μ

n

,

вдоль оси

x

— как

πx/

2

μ

n

.

Результаты расчетов первой и второй волновых мод при фикси-

рованных значениях

x

,

z

(срезка по переменной

y

) приведены на

рис. 1,

а

,

б

, первая и вторая моды при фиксированных значениях

z

,

y

(срезка по переменной

x

) — на рис. 1,

в

,

г

. Параметры расче-

тов, характерные для реальных океанических условий, следующие:

N

= 0

,

001

c

1

;

ω

= 0

,

004

c

1

;

γ

= 0

,

2

;

c

= 0

,

44

;

ρ

0

= 1000

кг/м

3

;

Q

= 1600

м

3

/с;

y

0

= 500

м;

z

0

=

4

м. Значения

x

= 20

м,

z

=

40

м

(см. рис. 1,

а

,

б

), значения

z

=

40

м,

y

= 520

м (см. рис. 1,

в

,

г

).

В соответствии с представленными результатами получено хорошее

совпадение точного и асимптотического решений, за исключением не-

посредственной окрестности источника возмущений, где аргумент

гипергеометрической функции стремится к единице, что следует

из построения асимптотического решения. Отметим, что выраже-

ние (24) формально пригодно при

μ

n

→ ∞

, в численных расчетах

μ

n

= 6

,

406

n

, и уже для первой моды

n

= 1

асимптотики (24) ка-

чественно верно описывают точные решения (см. рис. 1). Асимп-

тотику нулевой моды можно вычислить, используя (21) и полагая

μ

n

= 0

. Тогда с учетом

F

1

4

,

3

4

,

1

, τ

2

=

2

π

1 +

τ

K

2

τ

1 +

τ

, где

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3

65