15 / 21
где
[
L
]
6
×
3
— матрица дифференциального оператора,
[
L
]
6
×
3
=
[
L
ε
]
3
×
3
[
L
η
]
3
×
3
,
[
L
ε
]
3
×
3
=
∂
1
0 0
0
∂
2
0
1
/
2
∂
2
1
/
2
∂
1
0
,
[
L
η
]
3
×
3
=
0 0
−
∂
2
11
0 0
−
∂
2
22
0 0
−
∂
2
12
−
∂
2
21
;
∂
2
IJ
=
∂
2
∂x
J
∂x
I
— соответствующие дифференциальные операторы.
Определяющие соотношения для пластин (19) могут быть записа-
ны в виде обобщенных соотношений между координатными столбца-
ми
n
˜
T
o
и
{
e
}
:
n
˜
T
o
6
= [
G
]
6
×
6
{
e
}
6
, где
[
G
]
6
×
6
— обобщенная матрица упруго-
сти,
[
G
]
6
×
6
=
[ ˉ
C
]
3
×
3
[
B
]
3
×
3
[
B
]
3
×
3
[
D
]
3
×
3
,
[ ˉ
C
]
3
×
3
=
ˉ
C
1111
ˉ
C
1122
ˉ
C
1112
ˉ
C
2211
ˉ
C
2222
ˉ
C
2212
ˉ
C
1211
ˉ
C
1222
ˉ
C
1212
,
[
B
]
3
×
3
=
B
1111
B
1122
B
1112
B
2211
B
2222
B
2212
B
1211
B
1222
B
1212
,
[
D
]
3
×
3
=
D
1111
D
1122
D
1112
D
2211
D
2222
D
2212
D
1211
D
1222
D
1212
.
Подставив (44) в (43) и добавив согласно общей схеме вариацион-
ного принципа Хеллингера – Рейcснера нулевое слагаемое, имеем
δJ
Σ
(
u,
˜
T
) =
ZZ
Σ
0
n
˜
T
o
т
[
L
]
δ
{
u
}
d
Σ+
+
ZZ
Σ
0
δ
n
˜
T
o
т
[
L
]
{
u
} −
[
G
]
−
1
n
˜
T
o
d
Σ +
δ
˜
A
e
Σ
= 0
.
(45)
Далее полагаем, что
{
u
}
и
n
˜
T
o
— независимые системы функций,
и соотношение (44) не выполняется. Тогда (45) является самостоятель-
ным уравнением.
Функционал
J
Σ
может быть записан явным образом
J
Σ
(
u,
˜
T
) =
ZZ
Σ
0
n
˜
T
o
т
[
L
]
{
u
}
d
Σ
−
1
2
ZZ
Σ
0
n
˜
T
o
т
[
G
]
−
1
n
˜
T
o
т
d
Σ + ˜
A
e
Σ
,
(46)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
81