11 / 21
Z
V
σ
ij
(
ε
kl
(u))
δε
ij
(u)
dV
=
=
h
ZZ
Σ
0
n
(
< σ
(0)
IJ
>
+
κ < σ
(1)
IJ
>
)
δε
(0)
IJ
+
κ < σ
(0)
IJ
δε
(1)
IJ
>
)
o
d
Σ
.
(29)
С учетом
ε
(1)
KL
=
ξη
KL
и обозначений (16) для усилий и моментов
выражение (29) можно записать так
Z
V
σ
ij
(
ε
kl
(u))
δε
ij
(u)
dV
=
h
ZZ
Σ
0
n
T
IJ
δε
(0)
IJ
+
M
IJ
δη
IJ
o
d
Σ
.
(30)
Преобразуем второй интеграл в (24) как
Z
Σ
σ
˜
S
ei
δu
i
d
Σ =
Z
Σ
σ
T
˜
S
ei
δu
i
d
Σ +
Z
Σ
3+
˜
S
ei
δu
i
d
Σ +
Z
Σ
3
−
˜
S
ei
δu
i
d
Σ
.
(31)
Поскольку на внешней (
Σ
3+
=
{
ξ
= 0
,
5
}
) и внутренней (
Σ
3
−
=
=
{
ξ
=
−
0
,
5
}
) поверхностях согласно (2) задано давление
˜
S
ei
=
−
˜
p
±
δ
i
3
,
x
∈
Σ
3
±
, то
Z
Σ
3
±
˜
S
ei
δu
i
d
Σ =
∓
Z
Σ
0
˜
p
±
δu
3
d
Σ
.
(32)
Интеграл в (31) по части торцевой поверхности
Σ
σ
T
преобра-
зуем следующим образом:
Z
Σ
σ
T
˜
S
ei
δu
i
d
Σ =
h
Z
C
σ
<
˜
S
ei
δu
i
> dl
, где
C
σ
⊂
∂
Σ
0
— часть контура
∂
Σ
0
, ограничивающего срединную поверх-
ность пластины
Σ
0
, на котором задан вектор напряжений
˜
S
ei
;
dl
—
элемент дуги этого контура. Тогда с учетом (14) и (9) имеем
Z
Σ
σ
T
˜
S
ei
δu
i
d
Σ =
h
Z
C
σ
<
˜
S
ei
δu
i
> dl
=
=
h
Z
C
σ
{
< S
eI
> δu
(0)
I
−
κ < ξS
eI
> δu
(0)
3
,I
+
κ < S
e
3
> δu
(0)
3
}
dl.
(33)
Поскольку
˜
S
ei
=
σ
ij
n
j
, входящие в выражение (33) средние величины
можно представить как
<
˜
S
eI
>
=
< σ
IJ
> n
J
=
T
IJ
n
J
=
T
eI
;
κ < ξ
˜
S
eI
>
=
κ < ξσ
IJ
> n
J
=
M
IJ
n
J
=
M
eI
;
κ <
˜
S
e
3
>
=
κ < σ
3
J
> n
J
=
Q
J
n
J
=
Q
e
.
(34)
Следовательно, поверхностный интеграл (31) с учетом (32)–(34)
можно записать так
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
77