17 / 21
−
Z
C
σ
(
{
T
e
}
т
{
u
}
+ (
{
M
e
}
т
− {
M
}
т
[
N
]) [
L
γ
]
{
u
}
)
dl.
(51)
Функционал (50) свободен от указанного выше недостатка.
Подставляя (50) и (51) в (48), получаем вариационное уравнение
соответствующее вариационному принципу Германна для асимптоти-
ческой теории пластин.
Выводы.
На основе вариационного принципа Лагранжа для трех-
мерных уравнений теории упругости с помощью теории асимптотиче-
ских разложений по малому параметру, представляющему собой отно-
шение толщины к характерной длине пластины, без введения каких-
либо гипотез относительно характера распределения перемещений и
напряжений по толщине, выведено вариационное уравнение типа Ла-
гранжа для тонких многослойных пластин. Показано, что это вариа-
ционное уравнение эквивалентно системе дифференциальных уравне-
ний теории пластин Кирхгофа – Лява, но в отличие от классической
модели пластин Кирхгофа – Лява разработанная асимптотическая те-
ория позволяет найти распределения всех шести компонент тензо-
ра напряжений. Разработанная асимптотическая теория пластин да-
ет математически строгое (в асимптотическом смысле) обоснование
классической теории пластин Кирхгофа – Лява, показывая, что именно
эта теория является результатом применения метода асимптотических
разложений к уравнениям трехмерной теории упругости. Отличие от
классической теории Кирхгофа – Лява заключается лишь в нелиней-
ной зависимости прогиба от поперечной координаты. Выведены так-
же вариационные принципы Хеллингера – Рейсснера и Германна для
асимптотической теории пластин.
Работа выполнены при поддержке гранта Президента РФ
МК-5961.2015.8.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Григолюк Э.И.
,
Куликов Г.М
. Обобщенная модель механики тонкостенных кон-
струкций из композитных материалов // Механика композит. материалов. 1988.
№ 4. С. 698–704.
2.
Зверяев Е.М.
,
Макаров Г.И
. Общий метод построения теорий типа Тимошенко //
ПММ. 2008. Т. 72. Вып. 2. С. 308–321.
3.
Зверяев Е.М.
Анализ гипотез, используемых при построении теории балок и
плит // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 3. С. 472–483.
4.
Шешенин С.В.
Асимптотический анализ периодических в плане пластин // Изв.
РАН. МТТ. 2006. № 6. С. 71–79.
5.
Шешенин С.В.
,
Ходос О.А.
Эффективные жесткости гофрированной пластины //
Вычислительная механика сплошной среды. 2011. Т. 4. № 2. С. 128–139.
6.
Kohn R.V.
,
Vogelius M.
A new model of thin plates with rapidly varying thickness //
Int. J. Solids and Struct. 1984. Vol. 20. No. 4. P. 333–350.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
83