10 / 21
формаций
ε
kl
(u) = (
∇
l
u
k
+
∇
k
u
l
)
/
2
с помощью обобщенного закона
Гука
σ
ij
=
C
ijkl
ε
kl
.
Согласно асимптотической теории, перемещения пластины могут
быть представлены в виде (9) и (14), поэтому вариации перемещений
имеют вид
δu
I
=
δu
(0)
I
−
κξδu
(0)
3
,I
;
δu
3
=
δu
(0)
3
+
κδε
(0)
KL
U
3
KL
. В соответ-
ствии с (6) деформации
ε
ij
в асимптотической теории с точностью до
членов второго порядка малости имеют вид
ε
ij
=
ε
(0)
ij
+
κε
(1)
ij
, причем
согласно (21) и
ε
(0)
KL
=
1
2
(
u
(0)
K,L
+
u
(0)
L,K
)
, ε
(0)
I
3
= 0
,
ε
(0)
33
=
ε
(0)
KL
U
3
KL/
3
=
−
ε
(0)
KL
C
33
KL
C
3333
;
ε
(1)
KL
=
ξη
KL
, ε
(1)
k
3
=
−
ε
(0)
KL,J
C
−
1
k
3
I
3
ξ
Z
−
0
,
5
(
< C
(0)
IJKL
>
−
C
(0)
IJKL
)
dξ.
(25)
Тогда вариации деформаций составят
δε
ij
=
δε
(0)
ij
+
κδε
(1)
ij
.
(26)
Преобразуем теперь интеграл в левой части функционала (20):
Z
V
σ
ij
(
ε
kl
(u))
δε
ij
(u)
dV
=
=
Z
V
σ
IJ
δε
IJ
dV
+ 2
Z
V
σ
k
3
δε
k
3
dV
+
Z
V
σ
33
δε
33
dV.
(27)
Подставляя в (25) формулы (7) и (26) и учитывая, что величины
δε
(0)
MN
,
δη
IJ
не зависят от координаты
ξ
, получаем
Z
V
σ
ij
(
ε
kl
(u))
δε
ij
(u)
dV
=
=
h
ZZ
Σ
0
n
< σ
(0)
IJ
> δε
(0)
IJ
+ 2
< σ
(0)
I
3
δε
(0)
I
3
>
+
< σ
(0)
33
δε
(0)
33
>
+
+
κ
(
< σ
(1)
IJ
> δε
(0)
IJ
+
< σ
(0)
IJ
δε
(1)
IJ
>
+2
< σ
(1)
I
3
δε
(0)
I
3
>
+
+ 2
< σ
(0)
I
3
δε
(1)
I
3
>
+
< σ
(1)
33
δε
(0)
33
>
+
< σ
(0)
33
δε
(1)
33
>
)
o
d
Σ
,
(28)
где
Σ
0
— срединная поверхность пластины.
В силу (21), (23), (25)
σ
(0)
i
3
= 0
,
ε
(0)
I
3
= 0
,
σ
(1)
33
= 0
, тогда выражение
(28) приводим к виду
76
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4