12 / 21
Z
Σ
σ
˜
S
ei
δu
i
d
Σ =
−
Z
Σ
0
(˜
p
+
−
˜
p
−
)
δu
(0)
3
d
Σ+
+
h
Z
C
σ
{
T
eI
δu
(0)
I
−
M
eI
δu
(0)
3
,I
+
Q
e
δu
(0)
3
}
dl.
(35)
Подставляя (35) и (30) в (20), получаем вариационное уравнение
h
ZZ
Σ
0
n
T
IJ
δε
(0)
IJ
+
M
IJ
δη
IJ
d
Σ =
−
Z
Σ
0
(˜
p
+
−
˜
p
−
)
δu
(0)
3
d
Σ+
+
h
Z
C
σ
{
T
eI
δu
(0)
I
−
M
eI
δu
(0)
3
,I
+
Q
e
δu
(0)
3
}
dl.
После обезразмеривания всех величин с учетом (2) запишем окон-
чательно искомое вариационное уравнение, соответствующее вариа-
ционному принципу Лагранжа для асимптотической теории пластин
ZZ
Σ
0
n
T
IJ
δε
(0)
IJ
+
M
IJ
δη
IJ
o
d
Σ =
−
κ
2
Z
Σ
0
Δ
pδu
(0)
3
d
Σ+
+
Z
C
σ
{
T
eI
δu
(0)
I
−
M
eI
δu
(0)
3
,I
+
Q
e
δu
(0)
3
}
dl.
(36)
Покажем, что вариационное уравнение (36) эквивалентно системе
осредненных уравнений равновесия пластины (15), к которой следует
присоединить граничные условия на контуре
C
u
∪
C
σ
=
∂
Σ
0
края
пластины
C
u
:
u
(0)
i
=
u
ei
,
u
(0)
3
,n
=
u
e
3
,n
;
C
σ
:
T
IJ
n
J
=
T
eI
, Q
J
n
J
+((
M
eI
−
M
IJ
n
J
)
τ
I
)
,τ
=
Q
e
, M
IJ
n
I
n
J
=
M
eI
n
I
,
(37)
где
τ
I
,
n
I
— компоненты единичных векторов касательной и нормали к
контуру
∂
Σ
0
;
(
∙
)
,τ
,
(
∙
)
,n
— производные по касательному направлению
и нормали. На вариации
δu
(0)
i
накладываются условия
C
u
:
δu
(0)
i
= 0
, δu
(0)
3
,n
= 0
.
(38)
Поскольку нулевые сдвиговые деформации
ε
(0)
I
3
= 0
можно пред-
ставить в виде
ε
(0)
I
3
= 0 =
1
2
(
u
(0)
3
,I
+
γ
I
)
[10, 11], где
γ
I
=
u
(1)
I/
3
=
−
u
(0)
3
,I
—
углы поворота нормали к срединной поверхности пластины и
η
KL
=
=
−
u
(0)
3
,KL
=
γ
K,L
, уравнение (36) можно записать в виде
ZZ
Σ
0
n
T
IJ
δu
(0)
I,J
+
M
IJ
δγ
I,J
o
d
Σ =
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4