16 / 21
где
˜
A
e
Σ
=
ZZ
Σ
0
{
Δˉ
p
}
т
{
u
}
d
Σ
−
Z
C
σ
(
{
T
e
}
т
{
u
}
+
{
M
e
}
т
[
L
γ
]
{
u
}
)
dl
(47)
— суммарная работа внешних сил.
Вариационное уравнение
δJ
Σ
(
u,
˜
T
) = 0
(48)
вместе с уравнениями (46) и (47) соответствует вариационному прин-
ципу Хеллингера – Рейсснера для асимптотической теории пластин.
Поскольку в выражение для дифференциального оператора
L
η
вхо-
дят вторые производные прогибов
u
(0)
3
, применение функционала в
форме (46) в методе конечных элементов (МКЭ) приводит к необхо-
димости использования аппроксимации прогибов обладающей непре-
рывной производной на границе конечного элемента (эрмитовы конеч-
ные элементы). Чтобы избежать этого преобразуем первый интеграл в
(46)
ZZ
Σ
0
{
˜
T
}
т
[
L
]
{
u
}
d
Σ =
ZZ
Σ
0
{
T
}
т
[
L
ε
]
{
u
}
d
Σ +
ZZ
Σ
0
{
M
}
т
[
L
η
]
{
u
}
d
Σ =
=
ZZ
Σ
0
{
T
}
т
[
L
ε
]
{
u
}
d
Σ
−
ZZ
Σ
0
([
L
M
]
{
M
}
)
т
[
L
γ
]
{
u
}
d
Σ+
+
Z
C
σ
(
{
M
}
т
[
N
][
L
γ
]
{
u
}
)
dl,
(49)
где
[
L
M
]
2
×
3
=
∂
1
0
∂
2
0
∂
2
∂
1
— дифференциальный оператор;
[
N
]
3
×
2
=
=
n
1
0
0
n
2
n
2
n
1
— матрица нормалей. Подставляя (49) в функционал
J
Σ
, получаем функционал Германна
J
Σ
(
u,
˜
T
) =
ZZ
Σ
0
{
T
}
т
[
L
ε
]
{
u
}
d
Σ
−
ZZ
Σ
0
([
L
M
]
{
M
}
)
т
[
L
γ
]
{
u
}
d
Σ
−
−
1
2
ZZ
Σ
0
n
˜
T
o
т
[
G
]
−
1
n
˜
T
o
т
d
Σ + ˜
A
e
Σ
.
(50)
Здесь
˜
A
e
Σ
=
ZZ
Σ
0
{
Δˉ
p
}
т
{
u
}
d
Σ
−
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4