14 / 21
+
Z
C
σ
{
(
Q
e
−
M
IJ,J
n
I
−
(
M
I
τ
I
)
,τ
)
δu
(0)
3
+
M
I
n
I
δu
(0)
3
,n
}
dl
+
+
X
α
(
M
I
τ
I
δu
(0)
3
)
α
,
(42)
где
(
M
I
τ
I
δu
(0)
3
)
α
— скачки функций в точках разрыва на кривой
C
σ
.
Если такие скачки отсутствуют, то
(
M
I
τ
I
δu
(0)
3
)
α
= 0
, при ненулевых
скачках всегда можно принять
δu
(0)
3
= 0
.
В силу произвольности вариаций переменных
δu
(0)
I
,
δu
(0)
3
на по-
верхности
Σ
0
и вариаций
δu
(0)
I
,
δu
(0)
3
,
δu
(0)
3
,n
на контуре
C
σ
из уравнения
(42) следуют дифференциальные уравнения равновесия (15) и гранич-
ные условия (37).
Вариационные принципы Хеллингера – Рейсснера и Герман-
на для асимптотической теории пластин.
Будем исходить из ва-
риационного уравнения (36). Введем столбцы усилий, моментов и
обобщенных усилий
{
T
}
3
= (
T
11
, T
22
, T
12
)
т
,
{
M
}
3
= (
M
11
, M
22
, M
12
)
т
,
n
˜
T
o
6
=
{
T
}
3
,
{
M
}
т
т
; столбец обобщенных деформаций
{
e
}
6
=
= (
ε
(0)
11
, ε
(0)
22
, ε
(0)
12
, η
11
, η
22
, η
12
)
т
; столбец перемещений
{
u
}
3
=
= (
u
(0)
1
, u
(0)
2
, u
(0)
3
)
т
; столбцы обобщенных поверхностных нагрузок и
моментов
{
T
e
}
3
= (
T
e
1
, T
e
2
, Q
e
)
т
,
{
M
e
}
2
= (
M
e
1
, M
e
2
)
т
. Тогда уравнение
(36) можно записать в виде
ZZ
Σ
0
n
˜
T
o
т
δ
{
ε
}
d
Σ +
δ
˜
A
e
Σ
= 0
.
(43)
Здесь
δ
˜
A
e
Σ
=
ZZ
Σ
0
{
Δˉ
p
}
т
δ
{
u
}
d
Σ
−
Z
C
σ
(
{
T
e
}
т
δ
{
u
}
+
{
M
e
}
т
[
L
γ
]
δ
{
u
}
)
dl
— работа внешних сил;
{
Δˉ
p
}
3
= (0
,
0
,
Δˉ
p
)
т
;
(
γ
1
, γ
2
)
т
= [
L
γ
]
2
×
3
{
u
}
3
;
[
L
γ
]
2
×
3
=
0 0
−
∂
1
0 0
−
∂
2
;
∂
I
=
∂
∂x
I
— операторы дифференцирования
по глобальным координатам.
Соотношения между обобщенными деформациями и перемещени-
ями запишем в символическом виде
{
ε
}
6
= [
L
]
6
×
3
{
u
}
3
,
(44)
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4