Background Image
Previous Page  3 / 14 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 14 Next Page
Page Background

При расположении осей вращения таких включений в композите

параллельно одному направлению он также будет трансверсально изо-

тропным относительно этого направления [8, 9] и его свойства будут

определять искомые эффективные коэффициенты теплопроводности

λ

r

и

λ

z

в радиальном и осевом направлениях. Установившееся распре-

деление температуры

T

(

r, ϕ, z

)

в однородной среде, моделирующей

свойства композита, удовлетворяет дифференциальному уравнению

λ

r

r

∂r

r

∂T

∂r

+

λ

r

r

2

2

T

∂ϕ

2

+

λ

z

2

T

∂z

2

= 0

,

(2)

аналогичному уравнению (1). В силу осевой симметрии в уравнениях

(1) и (2) вторая производная температуры по угловой координате

ϕ

будет равна нулю.

Преобразуем уравнение (2), опустив второе слагаемое в его левой

части, к виду

1

ρ

∂ρ

ρ

∂T

∂ρ

+

2

T

∂z

2

= 0

,

(3)

где

ρ

=

r

p

λ

z

r

. Проведенное преобразование равносильно измене-

нию масштаба в направлении радиальной координаты в

p

λ

z

r

раз,

что приведет к изменению отношения

ˉ

b

=

b

z

/b

r

полуосей исходного

эллипсоида вращения, которое станет равным

ˉ

b

= ˉ

b

p

λ

r

z

.

Уравнение (3) теперь описывает установившееся распределение

температуры в однородной изотропной среде с коэффициентом тепло-

проводности

λ

z

. Для построения модели теплового взаимодействия с

такой средой трансверсально изотропного включения, имеющего фор-

му эллипсоида вращения с отношением

ˉ

b

полуосей (этот эллипсоид

предложено называть приведенным [10]), необходимо преобразовать

и уравнение (1). Опустив второе слагаемое в левой части этого урав-

нения, запишем

λ

ρ

ρ

∂ρ

ρ

∂T

∂ρ

+

λ

z

2

T

∂z

2

= 0

,

(4)

где

λ

ρ

=

λ

r

(

λ

z

r

)

.

Пусть на весьма большом расстоянии от центра включения по срав-

нению с длиной наибольшей полуоси приведенного эллипсоида задано

невозмущенное температурное поле

T

(

z

) =

G

z

z

, имеющее составля-

ющую градиента лишь в направлении координатной оси

Oz

, равную

G

z

. Тогда в приведенном эллипсоиде возникнет одномерное темпера-

турное поле [2, 3]

T

(

z

) =

λ

z

G

z

z

λ

z

+ (

λ

z

λ

z

)

D

0

z

,

90

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4