17 / 22
Для сравнения АТ-решения и решения, полученного с помощью
пакета ANSYS, число конечных элементов по толщине и ширине пла-
стины в опорных сечениях, было выбрано равным
N
= 12
(по три
элемента на слой). Общее число конечных элементов в такой нерав-
номерной сетке оставалось относительно небольшим — 24 677 (или
38 735 узла), что позволяло быстро проводить расчеты на этой сетке.
Сравнение значений распределений напряжений, рассчитанных по
АТ-решению, с решением, полученным с помощью пакета ANSYS,
приведено на рис. 2 для двух различных сечений
x
=
x
1
= [0
,
25; 0
,
5]
,
(
y
=
x
2
, z
=
x
3
). Как и ранее, поперечная безразмерная координата
ξ
изменяется в пределах
[
−
0
,
5; 0
,
5]
: значение
ξ
= 0
,
5
соответствует
верхней плоскости, а значения
ξ
=
±
0
,
25
— плоскостям стыка слоев.
Поскольку материалы слоев выбраны ортотропными, два касательных
напряжения отсутствуют во всех слоях:
σ
12
=
σ
23
= 0
.
Распределения остальных четырех напряжений (
σ
13
,
σ
11
,
σ
22
,
σ
33
),
соответствующие низшей частоте собственных колебаний, которые
рассчитаны с использованием разработанной асимптотической теории
по формулам (59) и с помощью пакета ANSYS для сетки с
N
= 12
достаточно хорошо совпадают (см. рис. 2).
Значения низших собственных частот, определенные с помощью
АТ-решения (57) (числитель) и пакета ANSYS (знаменатель), приве-
дены ниже:
41
,
9
/
42
,
2
158
,
9
/
162
,
9
330
,
7
/
347
,
1
Распределение напряжения
σ
13
(рис. 2,
б
) отражает тот факт, что
теоретически нулевое распределение касательного напряжения
δ
(
σ
13
)
в центральном сечении
x
1
= 0
,
5
при численной конечно-элементной
реализации близко к машинному нулю, максимальное значение откло-
нений от нуля примерно в 3 раза меньше максимального значения
касательных напряжений в сечении
x
1
= 0
,
25
(рис. 2,
а
).
Заключение.
Разработана теория собственных колебаний тонких
упругих многослойных анизотропных пластин, которая построена
на основе асимптотического анализа общих трехмерных уравнений
упругих колебаний тел, без введения гипотез относительно характера
распределения перемещений и напряжений по толщине.
Сформулированы рекуррентные последовательности локальных
задач квазистатического равновесия для задачи колебаний и получены
их решения в явном виде. Показано, что осредненная задача теории
колебаний пластин в разработанной теории получается близкой к тео-
рии пластин Кирхгофа – Лява, но отличается от нее наличием третьего
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
115