13 / 22
давления. Пусть слои пластины расположены симметрично относи-
тельно плоскости
ξ
= 0
, поэтому имеют место соотношения (45).
В этом случае
u
(0)
I
= 0
, ε
(0)
KL
= 0
, T
IJ
= 0
, σ
(0)
IJ
= 0
(51)
и ненулевыми неизвестными функциями являются только функции
u
(0)
3
(
x
)
, M
11
(
x
)
, Q
1
(
x
)
,
(52)
где
x
=
x
1
— безразмерная продольная координата пластины. Тожде-
ственно ненулевые уравнения колебаний (40), определяющие соотно-
шения (42) и кинематические соотношения (47) принимают вид
Q
1
,
1
+ ˉ
ρω
2
u
(0)
3
= Δˉ
p, M
11
,
1
−
Q
1
−
ω
2
Ru
(0)
3
,
1
= 0;
M
11
=
D
1111
η
11
+
ω
2
ˆ
G
113
u
(0)
3
, η
11
=
−
u
(0)
3
,
11
.
(53)
Здесь
ˆ
G
113
=
κ
2
< C
11
k
3
C
−
1
k
333
ξ
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ρ >
−
ρ
)
dξ >
.
Исключая из первых двух уравнений системы (53) перерезываю-
щую силу, получаем
M
11
,
11
+
ω
2
(ˉ
ρu
(0)
3
−
Ru
(0)
3
,
11
) = Δˉ
p
;
M
11
=
−
D
1111
u
(0)
3
,
11
+
ω
2
ˆ
G
113
u
(0)
3
,
отсюда окончательное дифференциальное уравнение колебаний мно-
гослойной пластины имеет вид
D
1111
u
(0)
3
,
1111
+
ω
2
R
(1
−
ˆ
G
113
/R
)
u
(0)
3
,
11
−
ω
2
ˉ
ρu
(0)
3
+ Δˉ
p
= 0
.
(54)
Уравнение (54) почти совпадает с классическим уравнением изгиб-
ных колебаний пластины Кирхгофа – Лява и отличается от него только
членом
ˆ
G
113
R
=
κ
< ρξ
2
>
< C
11
k
3
C
−
1
k
333
ξ
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ρ >
−
ρ
)
dξ >,
(55)
который мал по сравнению с единицой. Таким образом, разработанная
асимптотическая теория колебаний многослойных пластин в частном
случае колебаний симметричных пластин приводит к хорошо извест-
ному уравнению колебаний пластин Кирхгофа – Лява.
Рассмотрим решение уравнения (54) вместе с граничными услови-
ями шарнирного закрепления торцов пластины
x
= 0
и
x
= 1 :
u
(0)
3
= 0
, u
(0)
3
,
11
= 0
.
(56)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
111